动量守恒定律的典型模型及应用(正式)详解

动量守恒定律的典型应用几个模型：（一）碰撞中动量守恒（四）子弹打木块类的问题（五）人船模型：平均动量守恒（二）反冲运动、爆炸模型（三）碰撞中弹簧模型（一）碰撞中动量守恒1.弹性碰撞的规律两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和动能守恒．以质量为m1速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞为结论：(1)当两球质量相等时，两球碰撞后交换了速度．(2)当质量大的球碰质量小的球时，碰撞后两球都向前运动．(3)当质量小的球碰质量大的球时，碰撞后质量小的球被反弹回来．2.完全非弹性碰撞碰撞后系统以相同的速度运动v1=v2=v动量守恒：vmmvmvm21202101动能损失为220102111221220221012212121vvmmmmvmmvmvmE＝解决碰撞问题须同时遵守的三个原则:一.系统动量守恒原则三.物理情景可行性原则例如：追赶碰撞：被追追赶VV碰撞前：碰撞后：在前面运动的物体的速度一定不小于在后面运动的物体的速度二.能量不增加的原则基础自测1．如下图所示，在光滑水平面上有直径相同的a、b两球，在同一直线上运动．选定向右为正方向，两球的动量分别为pa＝6kg·m/s、pb＝－4kg·m/s.当两球相碰之后，两球的动量可能是()A．pa＝－6kg·m/s、pb＝4kg·m/sB．pa＝－6kg·m/s、pb＝8kg·m/sC．pa＝－4kg·m/s、pb＝6kg·m/sD．pa＝2kg·m/s、pb＝0C2．(2012·山东理综)光滑水平轨道上有三个木块A、B、C，质量分别为mA＝3m、mB＝mC＝m，开始时B、C均静止，A以初速度v0向右运动，A与B碰撞后分开，B又与C发生碰撞并粘在一起，此后A与B间的距离保持不变．求B与C碰撞前B的速度大小．解析：设A与B碰撞后，A的速度为vA，B与C碰撞前B的速度为vB，B与C碰撞后粘在一起的速度为v，由动量守恒定律得对A、B木块：mAv0＝mAvA＋mBvB①对B、C木块：mBvB＝(mB＋mC)v②由A与B间的距离保持不变可知vA＝v③联立①②③式，代入数据得vB＝65v0④（二）反冲运动、爆炸模型要点深化1．爆炸两物体间由于炸药的作用均受到巨大作用力，两作用力远大于外力，一般情况下近似认为动量守恒．由于爆炸力做功，所以物体系统的动能增加．2．反冲运动反冲运动是相互作用的物体之间的作用力与反作用力产生的效果．反冲运动过程中，一般满足系统的合外力为零，或内力远大于外力的条件，因此可用动量守恒定律进行分析．基础自测1．抛出的手雷在最高点时的水平速度为10m/s，这时突然炸成两块，其中大块质量300g仍按原方向飞行，其速度测得为50m/s，另一小块质量为200g，求它的速度的大小和方向．解析：设手雷原飞行方向为正方向，则整体初速度v0＝10m/s；m1＝0.3kg的大块速度为v1＝50m/s，m2＝0.2kg的小块速度为v2，方向不清，暂设为正方向．由动量守恒定律：(m1＋m2)v0＝m1v1＋m2v2代入数据解得v2＝－50m/s此结果表明，质量为200g的那部分以50m/s的速度向反方向运动，其中负号表示与所设正方向相反．(三）碰撞中弹簧模型注意：状态的把握由于弹簧的弹力随形变量变化，弹簧弹力联系的“两体模型”一般都是作加速度变化的复杂运动，所以通常需要用“动量关系”和“能量关系”分析求解。复杂的运动过程不容易明确，特殊的状态必须把握：弹簧最长（短）时两体的速度相同；弹簧自由时两体的速度最大（小）。1.一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在其中，A、B用一根弹性良好的轻质弹簧连在一起，如图所示．则在子弹打击木块A及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统()A．动量守恒，机械能守恒B．动量不守恒，机械能守恒C．动量守恒，机械能不守恒D．无法判定动量、机械能是否守恒C•例.用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物体C静止在前方，如图所示，B与C碰撞后二者粘在一起运动。求：在以后的运动中（1）当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度多大？（2）弹性势能的最大值是多大？（3）A的速度有可能向左吗？为什么？•（1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，有ACBABAv)mmm(v)mm(smvA/3（2）B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v’smvvmmvmCBB/2'')(，三物块速度相等为vA时弹簧的弹性势能最大为EP，根据能量守恒222111()'()12222PABCABCAEmvmmvmmmvJ由系统动量守恒得BCBAABAvmmvmvmvm)(设A的速度方向向左0AvsmvB/4则则作用后A、B、C动能之和JvmmvmEBCBAAk48)(212122系统的机械能JvmmmEEACBAP48)(21'2故A不可能向左运动1.运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下匀减速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速运动。2.符合的规律：子弹和木块组成的系统动量守恒，机械能不守恒。3.共性特征：一物体在另一物体上，在恒定的阻力作用下相对运动，系统动量守恒，机械能不守恒，ΔE=f滑d相对（四）子弹打木块模型•例.质量为M的木块静止在光滑水平面上，一质量为m的子弹以速度v0水平射入木块中，如果子弹所受阻力的大小恒为f，子弹没有穿出木块，木块和子弹的最终速度为，在这个过程中木块相对地面的位移为，子弹相对与地面的位移为，求子弹相对与木块的位移为？木s共vs子sS子bsS木a•解：光滑水平面，子弹与木块水平方向动量守恒•①•对木块用动能定理②•对子弹用动能定理③•②＋③，得到④•观察方程④，等式的左边表示摩擦力对系统做的功，右边表示系统动能的变化，那么它表示的物理意义是，在不受外力作用下，系统内部摩擦力做功（摩擦力与物体相对位移的乘积）等于系统动能的变化。•这种模型适用条件是，一个物体在另一个物体表面或内部运动，在运动方向上不受外力，系统动量守恒。从能量的观点看，系统内部摩擦力做功（摩擦力与物体相对位移的乘积）共vmMmv)(0mMmvv0＝共212fsMv木共＝2022121mvmvfs－＝－共子22011(M)22fssmvmvfs子共木－）＝（＋－•例.将质量为m=2kg的物块,以水平速度v0=5m/s滑上静止在光滑水平面上的平板车上,小车的质量为M=8kg,物块与小车间的动摩擦因数μ=0.4,取g=10m/s2.•(1)物块滑上小车经过多少时间两者相对静止?•(2)在此过程中小车滑动的距离是多少?•(3)整个过程中有多少机械能转化为内能?v0解：①物、车系统在水平方向上动量守恒：mv0=(M+m)v,得v=1m/s对m,运动加速度a1=μg=4m/s2运动时间t=(v-v0)/a=1s②对车运动加速度a2=μmg/M=0.5m/s2运动位移s2=v2/2a2=1mvtvv0oS车S物③m的运动位移s1=(v02-v2)/2a1=3m转化为内能的机械能等于摩擦力与相对位移乘积：Q=∆E=Wf=fs相=μmg(s1-s2)=16J（五）、人船模型例：静止在水面上的小船长为L，质量为M，在船的最右端站有一质量为m的人，不计水的阻力，当人从最右端走到最左端的过程中，小船移动的距离是多大？SL-SMS–m（L-S）=0若开始时人船一起以某一速度匀速运动，则还满足(L-S)/S=M/m吗？解：系统平均动量守恒：MV1-mV2=01、“人船模型”是动量守恒定律的拓展应用，它把速度和质量的关系推广到质量和位移的关系。即：m1v1=m2v2则：m1s1=m2s2质量与位移成反比2、此结论与人在船上行走的速度大小无关。不论是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要人最终到达船的左端，那么结论都是相同的。3、人船模型的适用条件是：两个物体组成的系统动量守恒，系统的合动量为零。【练习】如图所示，一质量为ml的半圆槽体A，A槽内外皆光滑，将A置于光滑水平面上，槽半径为R.现有一质量为m2的光滑小球B由静止沿槽顶滑下，不计空气阻力，求槽体A向一侧滑动的最大距离．解析:系统在水平方向上动量守恒,当小球运动到槽的最高点时,槽向左运动的最大距离设为s1,则m1s1=m2s2,又因为s1＋s2=2R,所以21122msRmm例：载人气球原静止于高h的高空，气球质量为M，人的质量为m．若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？气球和人原静止于空中，说明系统所受合力为零,故人下滑过程中系统动量守恒,人着地时，绳梯至少应触及地面，因为人下滑过程中,人和气球任意时刻的动量大小都相等,所以整个过程中系统平均动量守恒.若设绳梯长为l,人沿绳梯滑至地面的时间为t，M(L－h)/t－mh/t=0．解得MmlhM由图可看出,气球对地移动的平均速度为(L－h)/t,人对地移动的平均速度为－h/t(以向上为正方向).由动量守恒定律,有如图2所示，在光滑水平地面上，有两个光滑的直角三形木块A和B，底边长分别为a、b，质量分别为M、m，若M=4m，且不计任何摩擦力，当B滑到底部时，A向后移了多少距离？解：设当B沿斜面从顶端滑到底部时，A向后移动了S，则B对地移动了a-b–S,由动量守恒定律得MS/t–m(a–b-S)/t=0解得S=m(a-b)/(M+m)=(a–b)/5