引起数学知识交汇的几个“关键词”

引起数学知识交汇的几个“关键词”近几年高考数学学科的命题，在奉行考查基础知识的基础上，非常注重学科的内在联系和知识的综合性，侧重于知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度，从而出现了一种新的试题结构——知识交汇题。这种试题形式简单地说，就是把两个或几个数学知识有机地融洽于一起，但绝不是机械的拼揍，它侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，将不同的知识迁移到一个共同的情形中去，检测学生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。那么，两个不同的数学知识点如何交汇？为什么可以交汇？引起交汇的原因是什么？这些都值得我们去研究。下面从“几个不同的数学知识为什么可以交汇，即引起交汇的原因”这一方面谈一点看法，探究引起数学知识交汇的几个“关键词”，与同行商榷。一、“周期”——引起三角与数列交汇周期是三角函数的一个重要性质，而在数列中有一种特殊的数列叫周期数列，把两者交织在一起，使考查的问题新颖别致，有效地反映出学生应用数学知识的能力。例1．已知函数2()cos()1fxAx(0,0)A的最大值为3，()fx的图象的相邻两对称轴间的距离为2，在y轴上的截距为2；设数列{}na通项()nafn，nS为其前n项和，求100S。例1．已知函数2()cos()1fxAx(0,0)A的最大值为3，()fx的图象的相邻两对称轴间的距离为2，在y轴上的截距为2；设数列{}na通项()nafn，nS为其前n项和，求100S。解：∵()cos(22)122AAfxx，由题知1322AA，∴A=2；又22T，∴22，即4，∴()cos(2)22fxx，令0x，得cos222，∴22k；则()fx的表达式可为：()cos()22sin()222fxxkxk。当x为偶数时，()2fx；当x为奇数时，发现(1)(3)(5)(7)(97)(99)4ffffff。∴100502425200S。二、“角”——引起向量与三角交汇平面向量中的夹角是引起向量与三角交汇的主要因素，它把向量与三角函数有机地综合在一起，使三角问题得以充实与加强，有效地考查学生解决综合问题的能力。例2．已知(1cos,sin),(1cos,sin)ab，其中(0,),(,2),(1,0)c，a与c的夹角为1，b与c的夹角为2，126，求sin4的值。例2．已知(1cos,sin),(1cos,sin)ab，其中(0,),(,2),(1,0)c，a与c的夹角为1，b与c的夹角为2，126，求sin4的值。解：1221cos1coscos|cos|22(1cos)sin，∵2(0,)2，∴1coscos2；2221coscos|sin|2(1cos)sin，∵(,)22，∴2cossincos()222；又12,[0,]，(0,)222，∴12,222，∴122226，∴46，即1sin42。三、“几何”——引起向量与解析几何交汇向量具有“数”与“形”的双重功能，而解析几何的本质是利用“数”去研究几何问题。“几何”是把两者有机地联系在一起，若把向量点缀于解析几何问题之中，能有效地考查学生运用数学知识的能力。例3．已知,xyR，,ij为直角坐标平面内,xy轴正方向上的单位向量，若向量(2),(2)axiyjbxiyj，且||||8ab⑴求点(,)Mxy的轨迹C的方程；⑵过点(0,3)作直线l与曲线C交于点A、B，设OPOAOB，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。解：⑴由题设得2222(2)(2)8xyxy，由椭圆定义知，轨迹方程为2211216xy；⑵∵直线l过点(0,3)，若直线l的斜率不存在，则A、B为椭圆的顶点，此时OPOAOB0，∴O、P重合，与OAPB是矩形矛盾；∴直线l的斜率存在，设直线l的方程为3ykx，代入2211216xy得：22(43)18210kxkx，则有0；又由韦达定理得1212221821,4343kxxxxkk（﹡）；又∵OPOAOB，∴四边形OAPB是平行四边形。假若存在直线l使得四边形OAPB是矩形，则有OAOB，即有12120OAOBxxyy，即可得：21212(1)3()90kxxkxx。将（﹡）式代入上式解得54k，经检验均满足△0，∴存在直线l：534yx，使得四边形OAPB是矩形。四、“坐标”——引起向量与数列交汇向量中引进坐标形式，其目的是显示其运算功能。若把坐标点列化，则易与数列交汇，由向量与数列交汇而出现的问题形式新颖，极易体现出学生创新解决问题的能力。例4．已知一列非零向量na满足：111(,),(,)nnnaxyaxy=11111(,)(2)2nnnnxyxyn。⑴证明：{||}na是等比数列；⑵设112,,21,nnnnnnnaabnSbbb，求nS。例4．已知一列非零向量na满足：111(,),(,)nnnaxyaxy=11111(,)(2)2nnnnxyxyn。⑴证明：{||}na是等比数列；⑵设112,,21,nnnnnnnaabnSbbb，求nS。解：⑴222211111112||()()22nnnnnnnaxyxyxy=12||(2)2nan，∴1||22||nnaa，且1||0a，∴{||}na是等比数列。⑵∵11111111(,)(,)2nnnnnnnnaaxyxyxy211||2na，∴21111||22cos,2||||nnnnnaaaaa；∴4n，21142nnbn即2(123)()24nSnnnnn。五、“试验次数”——引起概率与数列交汇我们知道概率是某一事件发生的频率的极限值，它是基于大量试验的基础上产生的结果，“试验次数”是概率的基本特征，它可按次数的顺序把试验结果排成一列数，来反映事件发生的规律。正由于这方面的原因，把概率与数列交汇于一起是顺理成章的事。例5某种电子玩具按下按键后，会出现红球和绿球。已知按键第一次按下后，出现红球和绿球的概率都是12。从按键第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别是12,33；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别是32,55。记第()nnN次按下按键后出现红球的概率为np。⑴求2p的值；⑵当2n时，求用1np表示np的表达式；⑶证明数列9{}19np是等比数列，并求np。解：⑴若按键第一次，第二次按下后均出现红球，则其概率为111236；若按键第一次，第二次按下后依次出现绿球、红球，则其概率为1332510。故所求的概率为13761015。⑵若第1n次按下按键后出现红球（其概率为1np），则第n次按下按键后出现红球的概率为113np；若第1n次按下按键后出现绿球（其概率为11np），则第n次按下按键后出现红球的概率为13(1)5np。∴1111343(1)35155nnnnpppp。⑶当2n时，111949()419151999151919nnnnpppp，故数列9{}19np是等比数列，其通项1149()381519nnp。六、“函数”——引起数列与导数交汇数列是一种特殊的函数，数列中的好多问题都可转化为函数问解决，而导数是处理函数问题的主要工具，所以数列问题很容易与导数交汇。例6设函数()fx与数列{}na满足关系：①1,aanN，其中a是方程()fxx的实根；②1()()nnafanN；③()fx的导数()(0,1)fx。⑴证明：,naanN；⑵判断na与1na的大小，并证明你的结论。例6设函数()fx与数列{}na满足关系：①1,aanN，其中a是方程()fxx的实根；②1()()nnafanN；③()fx的导数()(0,1)fx。⑴证明：,naanN；⑵判断na与1na的大小，并证明你的结论。解：⑴用数学归纳法证（略）；⑵设()()gxxfx()xa，()1()0gxfx，∴()gx在[,)a上是增函数。∵()()0gaafa，∴()()0gxga，∴()xfx，由⑴知naa，∴1()nnnafaa。七、“点列”——引起数列与解析几何交汇数列与圆锥曲线的交汇是近年高考试题中的热点，引起它们交汇的主要因素是“点列”，点列具有双重功能，一方面“点”是解析几何的基本元素；另一方面“列”是数列的基本特征。把两者有机结合，能多角度考查学生驾驭数学知识的能力。例7已知动圆与直线3y相切，并与定圆221xy相内切。⑴记动圆圆心的轨迹为曲线C，求曲线C方程；⑵过原点作斜率为1的直线交曲线C于第一象限一点1P，又过点1P作斜率为12的直线交曲线C于点2P，再过2P作斜率为14的直线交曲线C于3P，……如此继续下去。一般地，过点nP作斜率为12n的直线交曲线C于点1nP，设点(,)nnnPxy，令2121nnnbxx，求证：数列{}nb是等比数列；解：⑴易求得动圆圆心的轨迹为曲线C方程为244xy；⑵∵nP、1nP在曲线C上，则22114(1),4(1)nnnnxyxy又直线1nnPP的斜率为12n，∴1112nnnnnyyxx，即22111142nnnnnxxxx，得1212nnnxx；∴2121212221()()nnnnnnnbxxxxxx=222322111222nnn，则114nnbb，即数列{}nb是等比数列。例7已知动圆与直线3y相切，并与定圆221xy相内切。⑴记动圆圆心的轨迹为曲线C，求曲线C方程；⑵过原点作斜率为1的直线交曲线C于第一象限一点1P，又过点1P作斜率为12的直线交曲线C于点2P，再过2P作斜率为14的直线交曲线C于3P，……如此继续下去。一般地，过点nP作斜率为12n的直线交曲线C于点1nP，设点(,)nnnPxy，令2121nnnbxx，求证：数列{}nb是等比数列；八、“切线”——引起导数与函数、解析几何交汇导数的引入对研究函数和几何中的切线带来便利，从而使得切线为导数、函数、解几的整合提供了方向，通过切线把这三者完美地交汇于一起，出现了大量充满了活力和生机的试题，体现出现行高考稳中求新的特点。例8已知曲线段OMB是抛物线2xy在06x之间的一段，O为坐标原点，过B作BAx轴A点，曲线OMB上一点(,())Mtft处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于Q。⑴试用t表示切线PQ的方程；⑵试用t表示出QAP的面积；若函数()gx在(,)mn上单调递减，试求出m的最小值；⑶若121[,64]4QAPS，试求出点P横坐标的取值范围。解：⑴设点2(,)Mtt，2()fxx，又()2fxx，∴过点M的切线PQ的斜率2kt，∴切线PQ的方程为22ytxt。⑵由⑴可求得2(,0),(6,12)2tPQtt，∴()QAPgtS22211(6)(12)636(06)224ttttttt，∵23()12364tgtt，令()0gt，则412t，考虑到06t，∴46t