第1章 行列式课件版

第一章行列式考研数一大纲要求•一、行列式•考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理•考试要求：1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.§12/3阶行列式的定义1.1.0求解线性方程组（一次方程组，不含平方项与交叉项）的引入。333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa三元线性方程组22221211212111bxaxabxaxa二元一次方程组用消元法解二元线性方程组.,22221211212111bxaxabxaxa12:122a,2212221212211abxaaxaa:212a,1222221212112abxaaxaa，得两式相减消去2x一、二阶行列式的引入;212221121122211baabxaaaa）（，得类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa）（时，当021122211aaaa方程组的解为，211222112122211aaaabaabx）（3.211222112112112aaaaabbax由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表)4(22211211aaaa定义)5(42221121121122211aaaaaaaa行列式，并记作）所确定的二阶称为数表（表达式即.2112221122211211aaaaaaaaD11a12a22a12a主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组系数行列式.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD.,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx注意分母都为原方程组的系数行列式..2221121122111122aaaababaDDx，211222112122211aaaabaabx）（3.211222112112112aaaaabbax例1.12,12232121xxxx求解二元线性方程组解1223D)4(3,07112121D,14121232D,21DDx11,2714DDx22.3721§12/3阶行列式的定义1.1.0求解线性方程组（一次方程组，不含平方项与交叉项）的引入。333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa三元线性方程组22221211212111bxaxabxaxa二元一次方程组§12/3阶行列式的定义•记二阶行列式：bcaddcba§12/3阶行列式的定义•记二阶行列式：•三阶行列式：bcaddcba333231322221131211aaaaaaaaa二、三阶行列式定义333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表行个数排成设有记,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.323122211211aaaaaa(1)沙路法三阶行列式的计算D333231232221131211aaaaaaaaaD.列标column行标row333231232221131211aaaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaa(2)对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．2-43-122-4-21D计算三阶行列式例２解按对角线法则，有D4)2()4()3(12)2(21)3(2)4()2()2(241124843264.14.094321112xx求解方程例3解方程左端1229184322xxxxD,652xx解得由052xx3.2xx或例4解线性方程组.0,132,22321321321xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式111312121D1111321211111221315,0同理可得1103111221D,51013121212D,100111122213D,5故方程组的解为:,111DDx,222DDx.133DDx二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa三、小结§3n阶行列式的定义阶行列式如何定义？对方程组的解如何表示？＋＋＋＋＋＋＋＋＋个方程组元未知量的n.2.1xxxxxxxxxnnnnnn2n21n12n2n2221211n1n212111baaabaaabaaa§2全排列和对换一、全排列及其逆序数同的排法？，共有几种不个不同的元素排成一列把n问题定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.nn个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.n由引例1233P.6nPn)1(n)2(n123!.n同理•排列：由n个自然数1，2，…，n组成的一个无重复的有序数组i1，i2，…，in，称为一个n级排列。（共有n！种）§2一、全排列在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.nstiiiii21stii例如排列32514中，定义我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514中，（按1、2、3……逐个分析）32514逆序数为31010故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法（总结）方法1（去小法）分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.n,n,,,121n,n,,,121n逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法2例1求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;3251401031于是排列32514的逆序数为13010t.55的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.2179863541解453689712544310010t18此排列为偶排列.540100134321212nnn解12,21nn当时为偶排列；14,4kkn当时为奇排列.34,24kkn1nt2n32121nnn2排列具有奇偶性.3计算排列逆序数常用的方法有2种.1个不同的元素的所有排列种数为n!.n小结§2全排列及其逆序数•逆序数计算方法：定义法；划小法（从小起）。•计算逆序数:1、{1,3,5,…,(2n-1),2,4,6,…,2n}2、{n，n-1，n-2，…,2,1}§2二、对换的分析•1、对换：n个数码的一个排列，任意两个数码i和j交换一下，其余数码保持不动，所得的一新排列。对排列所施行的这样一个变换叫一个对换。相邻对换：【讨论】•2、任一n个数码的排列通过一系列对换…•3、n个数码的任意两个排列通过对换•4、每一个相邻对换与排列的奇偶性•5、任意一次对换§2二、对换的分析•1、对换：n个数码的一个排列，任意两个数码i和j交换一下，其余数码保持不动，所得的一新排列。对排列所施行的这样一个变换叫一个对换。•2、任一n个数码的排列通过一系列对换得标准次序。•3、n个数码的任意两个排列，总可以通过一系列对换实现互换。•4、定理1每一个对换都改变排列的奇偶性。（分析：包括相邻和不相邻的情况）对换次数：排列奇偶性的改变次数。•排列：由n个自然数1，2，…，n组成的一个无重复的有序数组i1，i2，…，in，称为一个n级排列。（共有n！种）推论•奇排列：调成标准排列的对换次数为奇数•偶排列：调成标准排列的对换次数为偶数§2二、对换的分析§3n阶行列式的定义§3n阶行列式的定义阶行列式如何定义？对方程组的解如何表示？＋＋＋＋＋＋＋＋＋个方程组元未知量的n.2.1xxxxxxxxxnnnnnn2n21n12n2n2221211n1n212111baaabaaabaaa§3n阶行列式的定义【回顾】1、行列式是多项式的另一种形式；2、行列式是“方”的，n行n列，n*n个元；3、行列式是多项式，每一项由n个元相乘，n个元来自不同行不同列；4、行列式是多项式，由？个项求和构成；5、行列式的每一项的符号由n个元的行列标的排序决定；§3n阶行列式的定义•定义2由n2个元素排成的n行n列，所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和.注意：行标为标准排列。列标的逆序数，，，表示排列其中，)()(aaaaaaaaa2121212222111211nnnnnnnnppppppDnnnnppppppppppaaaa)1(3221121321)(§3n阶行列式的定义对行列式定义的理解：•一个行列式代表一个多项式（一个数值）；•这个值是取自n行n列的数表当中的“不同行、不同列”的n个元素乘积的代数和。•即：求和式的任一项都是取自n2个元素的数表中，为不同行不同列的元素的一种排列之乘积。•这样方法的排列乘积一共有n！个；•行列式即是对这所有n阶排列求和。nnjjjjaaaa323211§3n阶行列式的定义•行列式的定义:共有n!项的n次齐次多项式,其中每一项都是不同行不同列的n个元素的乘积,且：带正号项和带负号项各占一半.即:所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和.•注意：当n=1时，§3n阶行列式的定义【思考】1、4阶行列式为什么用对角线法不正确？（与3阶对比）2、如果n阶行列式中，负项的个数为偶数，则n大于等于？3、如果n阶行列式中等于零的元素个数大于，那么此行列式的值为？【讨论】3、……等于零的元素个数等于,……值为？nn2nn2§3n阶行列式的定义【思考】4、五阶行列式中，项a12a31a54a43a25的符号应取？四阶行列式中，