费马点问题

费马点问题费马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一.费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点结论：对于一个各角不超过120的三角形，费马点是对各边的张角都是120的点；对于有一个角超过120的三角形，费马点就是这个内角的顶点.下面简单说明如何找点P，使它到ABC三个顶点的距离之和PCPBPA最小？这就是所谓的费马点问题.解析：如图所示，把APC绕点A逆时针旋转60，得到''CAP，连接'PP，则'APP为等边三角形，'PPAP,''CPPC，所以，'''CPPBPPPCPBPA.点'C可看成是线段AC绕点A逆时针旋转60而得到的定点，'BC为定长，所以当''CPPB、、、四点在同一直线上时，PCPBPA最小.这时，.12060180180'APPBPA.12060180180'''APPCAPAPC.120120120360360APCBPABPC因此，当ABC的每一个内角都小于120时，所求的点P对三角形每边的张角都是120，可按照如上的办法找到点P；当有一内角大于或等于120时，所求的P点就是钝角的顶点.费马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离之和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.1(2008年广东中考题)已知正方形ABCD内一动点E到CBA、、三点的距离之和的最小值为62，求此正方形的边长.解：如图所示，连接AC，把AEC绕点C顺时针旋转60，得到GFC，连接AGBGEF、、，可知EFC、AGC都是正三角形，则AEFGCEEF,,EFBEFGCEBEAE.点B、点G为定点(G为点A绕C顺时针旋转60所得)线段BG即为点E到CBA、、三点的距离之和的最小值，此时FE、两点都在BG上.设正方形的边长为a，那么aCOBO22，aGC2，aGO26.aaGOBOBG2622.点E到CBA、、的距离之和的最小值为62，622622aa，解得2a.2(2009年湖州中考题)若点P为ABC所在平面上一点，且120CPABPCAPB,则点P叫做ABC的费马点.(1)若点P为锐角ABC的费马点，且60ABC，3PA，4PC，则PB的值为._______(2)如图所示，在锐角三角形ABC的外侧作等边'ACB，连接'BB，求证：'BB过ABC的费马点P，且.'PCPBPABB解：(1)利用相似三角形可求PB的值为32.(2)设点P为锐角ABC的费马点，即120CPABPCAPB如图，把ACP绕点C顺时针旋转60到CEB'，连接PE，则EPC为正三角形.120'APCECB，60PEC.180'PECECB.即'BEP、、三点在同一直线上.同理，BEP、、三点也在同一直线上'BEPB、、、四点在同一直线上，即'BB过ABC的费马点P.又'ACB和EPC为等边三角形PCPE，PAEB'..''PCPBPAPEPBEBBB变式训练：(2002年全国初中联赛)如图所示，在ABC中，60ABC，点P是ABC内的一点，使得CPABPCAPB,且8PA，6PC，则PB的值为._______