数量关系：比赛和概率问题

比赛场次问题（参赛人数为N个）：Ⅰ.淘汰赛仅需决冠亚军比赛场次=N-1。Ⅱ.淘汰赛需决前四名场次=N。Ⅲ.单循环赛场次=C2N=参赛选手数×（参赛选手数－1）/2；Ⅳ.双循环赛场次=P2N=参赛选手数×（参赛选手数－1）；注：默认的“循环赛”即“单循环赛”。例1：有101位乒乓球运动员在进行冠军争夺赛。通过比赛，将从中产生一名冠军。这次比赛实行捉对淘汰制，在一轮比赛全部结束后，失败者失去继续比赛的资格，而胜利者再次抽签，参加下一轮的比赛。问一共要进行多少场比赛才能最终产生冠军？A.32B.63C.100D.101【解析】：C。根据公式，知道101名运动员需要进行100场比赛产生冠军。例2：100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男、女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？（）A.90B.95C.98D.99【解析】：C。设男、女运动员分别为a名和b名。每场比赛都淘汰一名运动员，a名男运动员需比赛（a-1）场，即共需淘汰（a-1）个人；类似的，b名男运动员需比赛（b-1）场。共需要（a-1）+（b-1）＝a+b-2＝100-2＝98（场）。例3：某足球赛决赛，共有24个队参加，它们先分成六个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军和第三、四名。总共需要安排多少场比赛？（）A.48B.51C.52D.54【解析】：C。24个队，分成六个小组，每组4个队。因为每个小组打循环赛，故每个小组组内比赛有C24=6场（与次序无关），循环赛共6×6＝36场。16个队淘汰赛决出冠、亚军和第三、四名，因此淘汰赛共需16场，共36+16＝52场。例4：A、B、C、D四支球队开展篮球比赛，每两个队之间都要比赛1场，已知A队已比赛了3场，B队已比赛了2场，C队已比赛了1场，请问D队已比赛了几场？（）A.3B.2C.1D.0【解析】：B。A进行了3场比赛，说明A与B.C.D都比过了，所以C已经进行过1场了。B比2场，其中与A比过了1场，又不能与C比，必然与D比，可知D和A.B比共两场。例5：有4支队伍进行4项体育比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到５，３，２，１分，每队的４项比赛的得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且A队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？（）A.7B.8C.9D.10【解析】：B。每项比赛都要产生不同四种名次，则四队总分和为(5+3+2+1）*4=44分。要使总分最少的队伍得分最多，由于A队得了三项第一，则A队至少得5+5+5+1＝16分。其他3队总分和为44-16＝28，28/3＝9……1，28＝9+9+10，已知各队的总分不相同，所以只有28＝8+9+11，总分最少的队伍最多得8分。例6：学校举办一次中国象棋比赛，有10名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他9名同学比赛一局。比赛规则，每局棋胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分，比赛结束后，10名同学的得分各不相同，已知：（1）比赛第一名与第二名都是一局都没有输过；（2）前两名的得分总和比第三名多20分；（3）第四名的得分与最后四名的得分和相等。那么，排名第五名的同学的得分是（）。A.8分B.9分C.10分D.11分【解析】：D。10名同学单循环比赛，共需比赛C210=45场，每人比赛9场。每场比赛无论比赛结果如何，对比赛双方得分总贡献为2分（若双方打平的话，双方各得1分；若有一方获胜，则胜方得2分，负方得0分），因此所有人总得分是45×2＝90分。由(2)可知：此时第三名17+16-20=13分，第四名最高12分，由(3)可知：第五和第六名一共90-17-16-13-12-12=20分，20=11+9，所以排名第五的同学得分是11分。注：这是考虑前四名得分的最高情况，刚刚符合，如果得分比这个要低的话，第五名的得分就会比11要高，就不符合排名的情况了。概率问题核心公式：1.单独概率＝满足条件的情况数总的情况数；2.某条件成立概率＝1－该条件不成立的概率；3.总体概率＝满足条件的各种情况概率之和；4.分步概率＝满足条件的每个步骤概率之积。例1：口袋中有6个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，从中摸出一球，若摸出黄球的可能性是3/4，则白球比黄球少多少个？（）A.3B.4C.5D.6【解析】：B。6÷3/4得出袋中有8个，则白球有8-6有2个，白球比黄球少6-2少4个。例2：某商店搞店庆，购物满200元可以抽奖一次。一个袋中装有编号为0到9的十个完全相同的球，满足抽奖条件的顾客在袋中摸球，一共摸两次，每次摸出一个球（球放回），如果第一次摸出球的数字比第二次大，则可获奖，则某抽奖顾客获奖概率是（）。A.5%B.25%C.45%D.85%【解析】：C。每次摸球有10种可能，那么两次摸出来的球有10×10＝100种不同的情况。很明显，有10种情况是摸出两个数字相同的球，那么还有90种是数字不相同。这90种情况中，第一次大与第二次大各占45种。所以获奖概率为45÷100＝45%。例3：小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？（）A.1/3B.1/4C.1/5D.1/6【解析】：C。小孙任意取出两颗糖有以下六种情况：C24=6。排除（巧克力、果味）的情况，只有（牛奶１，牛奶2）满足两颗都是牛奶味，所以概率为1/5。例4：将一个硬币掷两次，恰好有一次正面朝上且有一次反面朝上的概率是多少？（）A.1/2B.1/3C.1/4D.2/3【解析】：A。掷两次硬币所有可能性为（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）共四种。根据公式：恰好有一次正面朝上且有一次反面朝上的概率是1/2。例5：乒乓球比赛的规则是五局三胜制。甲、乙两球员的胜率分别是60％与40％。在一次比赛中，若甲先连胜了前两局，则甲最后获胜的胜率是（）。A.为60％B.在81％～85％之间否C.在86％～90％之间D.在91％以上【解析】：D。乙如果要获胜，则乙后三场都要获胜（五局三胜制），其概率为40％×40％×40％＝6.4％；因此，甲获胜的概率为1-6.4％＝93.6％。例6：某射击运动员每次射击命中10环的概率是80%，5次射击有4次命中10环的概率是（）。A.80%B.63.22%C.40.96%D.32.81%【解析】：C。5次射击命中4次10环的概率为C45×（80%）4×（1-80%）＝40.96%。例7：有一个摆地摊的摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里，让人们摸球中奖。只需2元就可以从袋子里摸3个球，如果摸到的3个球都是白球，可得10元回扣，那么中奖的概率是多少？如果一天有300人摸奖，摊主能骗走多少元?（）A.1/40，350B.1/20，450C.1/30，420D.1/10，450【解析】：B。摸出三个球的总情况数为C36＝20种，都是白球的可能性只有1种，因此摸到白球的概率为1/20。300人摸奖，平均中奖的人数为300×1/20＝15人，摊主能骗走2×300-15×10＝450（元）。例8：盒中有4个白球6个红球，无放回地每次抽取1个，则第二次取到白球的概率是多少？（）A.2/15B.4/15C.2/5D.3/5【解析】：C。P(第二次取得白球)=P(第一次白第二次白)+P（第一次红第二次白）=4/10x3/9+6/10x4/9=2/5。例9：某商场以摸奖的方式回馈顾客，盒内有五个乒乓球，其中一个为红色，2个为黄色，2个为白色，每位顾客从中任意摸出一个球，摸到红球奖10元，黄球奖1元，白球无奖励，则每一位顾客所获奖励的期望值为多少?（）A.10B.1.2C.2D.2.4【解析】：D。顾客摸到红、黄、白球的概率分别为1/5、2/5、2/5，因此其所获奖励的期望值应该为10×1/5+1×2/5+0×2/5=2.4。