2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第二章-推理与证明-章末复习-Wo

精选中小学试题、试卷、教案资料章末复习学习目标1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．1．合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：①综合法是从已知条件推出结论的证明方法；②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．4．数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝k时结论成立，推得当n＝k＋1时结论也成立．1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)2．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)3．综合法是直接证明，分析法是间接证明．(×)4．反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(×)精选中小学试题、试卷、教案资料类型一合情推理与演绎推理例1(1)观察下列等式：sinπ3－2＋sin2π3－2＝43×1×2；sinπ5－2＋sin2π5－2＋sin3π5－2＋sin4π5－2＝43×2×3；sinπ7－2＋sin2π7－2＋sin3π7－2＋…＋sin6π7－2＝43×3×4；sinπ9－2＋sin2π9－2＋sin3π9－2＋…＋sin8π9－2＝43×4×5；……照此规律，sinπ2n＋1－2＋sin2π2n＋1－2＋sin3π2n＋1－2＋…＋sin2nπ2n＋1－2＝________.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案43n(n＋1)解析第一个等式中1＝3－12，2＝3＋12；第二个等式中，2＝5－12，3＝5＋12；第三个等式中，3＝7－12，4＝7＋12.由此可推得第n个等式等于43×2n＋1－12×2n＋1＋12＝43n(n＋1)．(2)根据图(1)的面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′PA·PB′PB，可猜想图(2)有体积关系：V三棱锥P－A′B′C′V三棱锥P－ABC＝________.精选中小学试题、试卷、教案资料考点类此推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案PA′PA·PB′PB·PC′PC解析题干两图中，与△PAB，△PA′B′相对应的是三棱锥P－ABC，P－A′B′C′；与△PA′B′两边PA′，PB′相对应的是三棱锥P－A′B′C′的三条侧棱PA′，PB′，PC′.与△PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为V三棱锥P－A′B′C′V三棱锥P－ABC＝PA′PA·PB′PB·PC′PC.(3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案1和3解析由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.反思与感悟(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确．跟踪训练1(1)如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现：第4个图形中有________根火柴棒；第n个图形中有________根火柴棒．考点归纳推理的应用题点归纳推理在图形中的应用精选中小学试题、试卷、教案资料答案133n＋1解析设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a4＝13.通过观察得到递推关系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N*)，所以an＝3n＋1.(2)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，n∈N*且m≠n)，则Sm＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{bn}为等比数列时，写出一个正确的性质：________________.考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，若Tm＝Tn(m，n∈N*，m≠n)，则Tm＋n＝1解析由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，加减运算类比推理为乘除运算．累加类比为累乘，由此，等差数列{an}的性质类比到等比数列{bn}中为：数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，若Tm＝Tn(m，n∈N*，m≠n)，则Tm＋n＝1.类型二综合法与分析法例2试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin2α≤sinα1－cosα.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明方法一分析法要证2sin2α≤sinα1－cosα成立，只需证4sinαcosα≤sinα1－cosα，∵α∈(0，π)，∴sinα0，只需证4cosα≤11－cosα，∵1－cosα0，∴4cosα(1－cosα)≤1，可变形为4cos2α－4cosα＋1≥0，只需证(2cosα－1)2≥0，显然成立．方法二综合法精选中小学试题、试卷、教案资料∵11－cosα＋4(1－cosα)≥4，当且仅当cosα＝12，即α＝π3时取等号，∴4cosα≤11－cosα.∵α∈(0，π)，∴sinα0，∴4sinαcosα≤sinα1－cosα，∴2sin2α≤sinα1－cosα.反思与感悟分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2设a，b是两个正实数，且a≠b，求证：a3＋b3a2b＋ab2.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证a3＋b3a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)ab(a＋b)成立，即需证a2－ab＋b2ab成立．只需证a2－2ab＋b20成立，即需证(a－b)20成立．而由已知条件可知，a≠b，所以a－b≠0，所以(a－b)20显然成立．即a3＋b3a2b＋ab2.类型三反证法例3若x，y都是正实数，且x＋y2，求证：1＋xy2与1＋yx2中至少有一个成立．考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设1＋xy2和1＋yx2都不成立，精选中小学试题、试卷、教案资料则有1＋xy≥2和1＋yx≥2同时成立．因为x0且y0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.这与已知x＋y2矛盾．故1＋xy2与1＋yx2中至少有一个成立．反思与感悟反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．跟踪训练3已知：ac≥2(b＋d)．求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．考点反证法及应用题点反证法的应用证明假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a2－4b0与Δ2＝c2－4d0，有a2＋c24(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)2ac，即ac2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立．类型四数学归纳法例4已知在数列{an}中，a1＝－23，其前n项和Sn满足an＝Sn＋1Sn＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．考点数学归纳法证明数列问题题点数学归纳法证明数列通项问题解当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋1Sn＋2.∴Sn＝－1Sn－1＋2(n≥2)．则有S1＝a1＝－23，S2＝－1S1＋2＝－34，S3＝－1S2＋2＝－45，精选中小学试题、试卷、教案资料S4＝－1S3＋2＝－56，由此猜想：Sn＝－n＋1n＋2(n∈N*)．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝－23＝a1，猜想成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，即Sk＝－k＋1k＋2成立，那么当n＝k＋1时，Sk＋1＝－1Sk＋2＝－1－k＋1k＋2＋2＝－k＋2k＋3＝－k＋1＋1k＋1＋2.即当n＝k＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想均成立．反思与感悟(1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少．(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．跟踪训练4观察下列四个等式：第一个式子1＝1第二个式子2＋3＋4＝9第三个式子3＋4＋5＋6＋7＝25第四个式子4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49(1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明．考点利用数学归纳法证明等式题点等式中的归纳、猜想、证明解(1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81.(2)猜想第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.下面用数学归纳法证明．精选中小学试题、试卷、教案资料①当n＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)2＝1，猜想成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即有k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2.那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)＝(2k－1)2＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2＝[2(k＋1)－1]2.右边＝[2(k＋1)－1]2，即当n＝k＋1时，猜想也成立．根据①②知，猜想对任意n∈N*都成立.1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47B．65C．63D．128考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案B解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.2．在平面直角坐标系中，方程xa＋yb＝1表示x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()A.xa＋yb＋zc＝1B.xab＋ybc＋zca＝1C.xyab＋yzbc＋