2.5信号流图

Saturday,February22,20201第5节信号流图2结构图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，结构图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图，其表达方式比动态结构图更为简洁。而且应用梅逊公式，可以直接求出系统中任意两个变量之间的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。表达方式简洁应用梅逊公式直接求传递函数信号流图Saturday,February22,202032.5.1信号流图的定义及基本性质信号流图是一种表示一组线性代数方程的图示方法。它是一种描述系统内部信号传递关系的数学模型。信号流图不用进行化简，可利用梅逊（Mason）公式求出任意两点之间的传递函数。信号流图由节点和有向线段（支路）组成。节点（用圆圈表示）表示系统中的变量（包括输入、输出变量）；有向线段表示两个节点之间的传递方向和信号的变换关系，在有向线段上方标注增益，增益就是两个变量之间的传递函数表达式。当传递增益为1时可以不标。Saturday,February22,20204信号流图的两个基本法则sHsXsYsHsXsY支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，信号只能沿着支路上的箭头方向通过。（1）sXsHsY（2）结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路。1X2X3X4X5X6X14H34H24H46H45H4X例如结点Saturday,February22,20205信号流图的术语[几个术语]：输出节点(阱节点\汇节点)：只有输入支路的节点。如：X8。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如：X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。输入节点(源节点)：只有输出支路的节点。如：X1，X9。1X1G2G1H3G4G2H5G6G7G3H2X3X4X5X6X7X8X9XSaturday,February22,20206信号流图的性质节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的。信号流图的性质Saturday,February22,202072.5.2信号流图的绘制1.根据线性代数方程组绘制（1）把方程组写成“因”、“果”形式，每个变量作为“果”只能一次。（2）把各变量作为节点，从左到右按次序画在图上。（3）按方程式表达的关系，分步画出各节点和其他节点之间的关系。Saturday,February22,20208设一组线性方程式如下：信流图的表示形式2x3x4x5xabcdef1x553452311xxcxxxbxxxxf3212exdxaxxSaturday,February22,202092.由微分方程组构造将微分方程变换成以s为复变量的代数方程。按系统中各变量的因果关系，将对应的节点从左到右顺序排列，然后根据代数方程组绘制出有关的支路，并标出各支路的增益，便得到了信号流图。信号流图的绘制方法与画结构图差不多。但要注意两点：信号用节点表示；传递关系用带增益的支路表示。S域的代数方程组拉氏变换系统的微分方程组信号流图Saturday,February22,202010例无源网络如图所示，已知电容初始电压为解：列写微分方程)(tur)(tucC1R2Ri2i1i)0(1u)()()()()(1)()()()()(21112211tititiRtidttiCRtitutuRtituccrSaturday,February22,2020112211112111120)1(221)()()()()()0()()()(1)]()([1)()0(1)(1)(1)(1)0(RsIsUsIsIsICusCsIRsIsURsUsURsIussICstiCssICsuccrt初始条件进行拉氏变换。并考虑)0(1u1rUU1I2IIcU11RCsR112RC11Saturday,February22,2020123.由系统结构图绘制信号流图结构图与信号流图的对应关系1)结构图中的信号线、方框及传递函数与信号流图中的节点、支路及传递函数对应。结构图信号流图输入量源节点混合节点支路阱节点方框输出量相加点分支点中间变量↓→→→→→→↓↓↓2）结构图中的引出点、在信号流图中合到节点上去了，信号直接从节点上引出，这是因为同一节点输出相等。3）结构图中的“比较点”与信号流图中的“节点”相对应。结构图中比较点的“-”号要放到信号流图中支路传递增益中去。Saturday,February22,202013+_()Rs()Cs()Hs()Es()Gs()Rs()Cs()Gs1()Es()Rs()Rs()Cs()Cs()Cs()Gs()Gs+_()Rs()Cs()Hs()Es()Ns++1()Gs2()Gs()Ns()Rs1()Gs2()Gs1()Es+_()Rs()Cs()Hs()Es()Gs()Ns++()Rs()Cs()Gs1()Es()Cs()Ns11111()Gs21()Gs12()Gs22()Gs1()Rs2()Rs1()Cs2()Cs++++1()Rs1()Cs2()Rs2()Cs11()Gs21()Gs12()Gs22()Gs方块图信号流程图序号12345()Hs()Hs()HsSaturday,February22,202014例1试绘制图示系统结构图对应的信号流图。解：1、用小圆圈在结构图信号线上标出信号。2、将节点按顺序自左向右排列，用与结构图相应的支路连接节点，方框中的传递函数为信号流图中的支路增益，综合点处的“-”号用负增益表示。2G3G1GCR2G4GHe1e2eRe1e2eC1G3G4GH2GSaturday,February22,202015另解：①用小圆圈表示各变量对应的节点A1、A2。③在比较点之前的引出点B，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的e1、e2。HRBC1G2G3G4G1A2A－＋②在比较点之后的引出点只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。R1e1-H2G1G3G4G1e2eCSaturday,February22,202016例2绘制结构图对应的信号流图。Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)11RsC11sC2121RUi(s)Uo(s)Uo(s)U(s)I2(s)IC(s)-1-1-11/R11/C1s1/C2s1/R2Saturday,February22,2020172.5.3信号流图的变换法则（1）（2）有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。1xa2x12axx串联支路的合并总增益等于各支路增益的乘积。abab1x2x3x3x1xSaturday,February22,202018（3）并联支路的合并：并联相加（4）混合结点的消除ab1x2xba2x1x4x4xab1x2x3xcdadbdacbc1x4x4x1x2xabcacbc2x3x3x1x2xSaturday,February22,202019（5）环路的消除23312bxxcxaxx因为313bcxabxx131xbcabx自回路的消除：a1x2x3xb1x3x4xab1bbab1x3x4xb11回路的消除：a1x2x3x1x2x3xabcbcb1Saturday,February22,202020总结：可以通过如下步骤简化信号流图，从而求得系统函数：①串联支路合并，减少结点；②并联支路合并，减少支路；③消除环路。Saturday,February22,202021（1）将串联支路合并从而减少结点；（2）将并联支路合并从而减少支路；（3）消除自环。反复运用以上步骤，可将复杂的信号流图简化为只有一个源点和一个汇点的信号流图，从而求得系统函数。信号流图化简步骤：根据串联支路合并规则，将图(a)中回路x1x2x1和x1x2x3x1化简为自环，如图b所示，将x1到Y(s)之间各串联、并联支路合并，得图（c）。并利用并联支路合并规则，将x1处两个自环合并，然后消除自环，得图（d）。于是得到系统函数H(s)Saturday,February22,2020222.5.4梅森增益公式Saturday,February22,202023通道：从某一点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点（或同一节点）的路径，统称为通道。一个信号流图可以有很多通道。前向通道：从输入节点开始，终止于输出节点，且每个节点只通过一次的通道。前向通道上各支路增益的乘积,称前向通道传递增益.如下图中前向通道有三条,其增益分别为：45342312gggg452412ggg2512gg1y2y3y4y5y12g23g32g34g45g44g43g25g24g信号流图的术语Saturday,February22,202024回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路，又称闭通道、反馈环。回路增益：回路中各支路增益的乘积，一般用表示。不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路。aL1X1G2G1H3G4G2H5G6G7G3H2X3X4X5X6X7X8X26521321HGGLHGGL57652432XXXXXXXX和Saturday,February22,202025梅逊公式由信号流图计算从一个节点到另外一个的总增益，可以利用S.J.Mason（梅逊）于1956年提出的Mason（梅逊）公式。其表达式为：nkkkPP11式中：总传输（即总传递函数）；从输入节点到输出节点的前向通道总数；第k个前向通道的总传输；流图特征式；其计算公式为：PnkP...1fedcbaLLLLLLSaturday,February22,202026式中：流图中所有不同回路的回路传输之和；aLcbLL所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；fedLLL所有互不接触回路中，每次取其中两个回路传输乘积之和；第k个前向通道的特征式的余子式；其值为中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分。k由梅逊公式可以看出，总增益P实际上就是系统某两点之间的传递函数，特征式实际上就是闭环系统的特征多项式。说明：（1）梅逊公式也适用于结构图；（2）只适用于输出节点对输入节点的总增益，对混合节点不能直接用。Saturday,February22,202027梅逊增益公式说明1V3VGZGRGRLa所有单独回路增益之和所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和GZGRLLCb（只存在两个不接触回路）所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和0fedLLL（不存在三个不接触回路）GRGZGZGRGR)(1特征多项式Saturday,February22,202028GRGZGZGRGRGRGZ)(1从原点到阱点的所有前向通路的增益GRGZp1（只存在一条前向通路）前向通路的余子式前向通路与三个回路都接触，在特征多项式中以零替代这三个回路增益，余下部分即为该前向通路的余子式。11GRGZpnKKK13V1VSaturday,February22,202029梅逊公式||例2-13a[解]：有一个回路；1123uPGGGGfuaGGGGGL3211,111321fuaGGGGGL11231123