本征值

一、本征值与本征向量的定义二、本征值与本征向量的求法三、本征值与本征向量的性质设是数域F上向量空间V的一个线性变换，则称为的一个本征值，称为的属于本征值(),一、特征值与特征向量的定义定义：,若对于F中的一个数存在一个V的非零向量,使得的本征向量.由此知，本征向量不是被本征值所唯一确定的，()()()()kkkk注：①几何意义：本征向量经线性变换后方向保持相同或相反(0)(0).()0,0.时②若是的属于特征值的本征向量，则也是的属于的本征向量.(,0)kkFk但是本征值却是被本征向量所唯一确定的，即若且，则()().设是V的一组基，12dim,{,,,}nVn12,,,n下的坐标记为1,nxx二、特征值与特征向量的求法分析：设是的本征值，它的一个本征向量在基线性变换在这组基下的矩阵为.()ijnnAa那么由（1）和定理7.3.1，我们有11,nnxxAxx或10().0nxAx（2）因为，所以齐次线性方程（2）有非零解.因而系数行列式0111212122212......det()0.........nnnnnnaaaaaaIAaaa（3）反之，若满足等式(3),那么齐次线性方程组(2)有非零解,因而满足等式(1),即是的一个本征值.F12(,,,)nxxx11nnxx设是数域F上一个n阶矩阵，行列式()ijAa111212122212...............()det()nnnnnnAxaaaaxaaIAaafxaxx叫作矩阵A的特征多项式.1.特征多项式的定义()()AfxFx显然，注：①若矩阵A是线性变换关于V的一组基的矩阵，而是的一个特征值，则是特征多项式()Afx的根，即()0.Af的一个本征值.反之，若是A的特征多项式的根，则就是②矩阵A的特征多项式的根也叫作矩阵A的特征根,而相应的线性方程组的非零解()0EAX叫作A的属于这个特征根的特征向量.2.求特征值与特征向量的一般步骤1.计算特征多项式xIA3.对于A的每一个特征值i，求相应的齐次线性方程组()0ixIAXsisiiccc2121（sccc,,,21不全为零）的一个基础解系siii,,,21，则A的属于ix的全部特征向量为2.求特征方程的所有根，即得A的全部特征值0xIA12,,,nxxx例：求矩阵001010100A的特征根和特征向量。解A的特征多项式201010(1)(1)10xxIAxxxxA的特征值为121xx，31.x对于121xx，解1011010000001010000101000101321xxx得基础解系:101,01021A的属于特征值1的全部特征向量为),(212211不全为零cccc对于31x，解1231010200101xxx得基础解为1013A的属于特征值–1的全部特征向量为)0(333cc三、本征值与本征向量的性质1.设则A的特征多项式,ijnnAa111212122212...............nnnnnnxaaaaxaaxIAaaxa11221()(1)nnnnnxaaaxA由多项式根与系数的关系还可得②A的全体特征值的积＝.A①A的全体特征值的和＝1122.nnaaa称之为A的迹,记作trA.证:设则存在可逆矩阵T，使得,AB1BTAT11xTITTAT1()TxIAT1TxIAT2.相似矩阵具有相同的特征多项式.1xIBxITAT于是，xIA3.AA与有相同的特征根分析：要证AA与有相同的特征根只须证)()(AAff4.A的属于不同特征根的特征向量线性无关.注意到|||)(|||AIAIAI练习1：已知为A的一个特征根，则,nnAF（1）必有一个特征根为;()kAkFk（2）必有一个特征根为;()mAmZm（3）A可逆时，必有一个特征根为;1A1（4）A可逆时，必有一个特征根为.*AA（5）则必有一个特征根为.()[],()fxFxfA()f行列式＝.B练习2：已知3阶方阵A的特征根为：1、－1、2，则矩阵的特征根为：，322BAA1,3,00作业P285-2871,4,7