三个宇宙速度的推导

三个宇宙速度的推导北京顺义杨镇一中范福瑛教材对第一宇宙速度做了具体推导，对第二、三宇宙速度没有进行推导，为使学生正确理解宇宙速度，认识它们的关系，拓宽知识，现对三个宇宙速度分析如下。第一宇宙速度物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫第一宇宙速度，又叫环绕速度，第一宇宙速度是最小的发射速度，其数值是7.9km/s．方法1：若地球质量M约为6×1024kg，地球平均半径为6400km，人造卫星的半径约为地球半径即近地卫星，则其运动速度是多少？（G=6.67×10-11N·m2/kg2）对人造卫星，由万有引力提供向心力得：解得：，代入数据得v1=7.9km/s方法2：根据，由地球表面的重力加速度和地球的半径算出：=7.9km/s。第二宇宙速度取无穷远处引力势能为零,物体距地心距离为r时的引力势能为，式中G是引力常量，M是地球的质量,m是物体的质量．不计空气阻力，物体和地球组成的系统机械能守恒，可得：，解得：代入数据得可见11.2km/s是物体脱离地球的最小发射速度。当物体的速度等于或大于11.2km/s，它就会离开地球，我们把11.2km/s叫做第二宇宙速度，又叫脱离速度。第三宇宙速度在地面附近发射一个物体，要使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，必须使它的速度等于或大于16.7km/s，这个速度叫做第三宇宙速度，又叫逃逸速度。太阳质量为M0，太阳中心到地球中心的距离为R0，类似于第二宇宙速度计算可有：，将M0=2.0×1030kg，R0=1.5×1011m代入得v＝42.2km/s由于地球绕太阳公转的速度为所以相对地球只要:＝42.2-29.8=12.4km/s发射，但考虑到地球引力存在，必须克服地球引力做功，所以：，而。式中v2是第二宇宙速度，将此代入上式，解得第三宇宙速度：v3=16.7km/s三个宇宙速度都是相对于地心的，且从（1）、（2）两式可知，第二宇宙速度等于第一宇宙速度的倍。