上海高三数学应用题汇编(修改)

1高三数学应用题汇编一、函数1、甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x），每一小时可获得的利润是310051xx元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.(1)生产该产品2小时的利润为3310051220051xxxx.由题意，3200513000xx，解得3x或15x.又110x，所以310x.(2)生产900千克该产品，所用的时间是900x小时，获得的利润为239003110051900005110xxxxxx，.记231()5110fxxxx，，则2111()35612fxx，当且仅当6x时取到最大值.最大利润为619000045750012元.因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元.2、某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润500310xa万元（0a），A项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围.【解】（1）根据题意可得，%2.010101000xx101000……3分2河流AB污水处理厂★x展开并整理得，05002xx……5分解得5000x，最多调出的人数为500人……6分（2）%4010005000xx，解得4000x……7分%2.010101000500310xxxxa，对于任意的400,0x恒成立……9分即%210201010005031022xxxxax即10002502xxax对于任意的400,0x恒成立……10分当0x时，不等式显然成立；当4000x时，1250000250111000250xxxxa……11分令函数xxxf250000)(，可知函数)(xf在区间400,0上是单调递减函数……12分故1025400)(minfxf，故1.511000250xx……13分故1.50a，所以实数a的取值范围是1.50a……14分3、如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为0.7()25fmm（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）()3.2gxx（万元），x表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A和城镇B的污水流量分别为13m、25m，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？3αβACBD（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系式，并求y的取值范围；[解]（1）分别单独建厂，共需总费用0.70.71253255131.1y万元……………4分（2）联合建厂，共需总费用0.725353.23.220yxx（020x）所以y与x的函数关系式为0.72583.220yxx（020x）……8分令20hxxx（020x）22202202021010020,40hxxxx………10分0.70.7121.52583.2202583.240127.4yy的取值范围为121.5,127.4．…………………………14分4、如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米.设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.(1)设计中CD是铅垂方向.如要求2αβ，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差.现在实测得38.12α，18.45β，求CD的长（结果精确到0.01米）.解：(1)记CDh.根据已知得tantan20αβ，tan35hα，tan80hβ，所以2280035180hhh，解得20228.28h.因此，CD的长至多约为28.28米.(2)在△ABD中，由已知，56.57αβ，115AB，由正弦定理得sinsin()BDABααβ，解得85.064BD.4在△BCD中，由余弦定理得2222cosCDBCBDBCCDβ，解得26.93CD.所以，CD的长约为26.93米.5、如图，,,ABC三地有直道相通，5AB千米，3AC千米，4BC千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为()ft（单位：千米）.甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时.乙到达B地后在原地等待.设1tt时，乙到达C地.(1)求1t与1()ft的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11tt时，求()ft的表达式，并判断()ft在1,1t上的最大值是否超过3？说明理由.解：(1)138t.2分记乙到C时甲所在地为D，则158AD千米.在△ACD中，2222cosCDACADACADA，所以13()418ftCD（千米）.···················6分(2)甲到达B用时1小时；乙到达C用时38小时，从A到B总用时78小时.当13788tt时，2224()(78)(55)2(78)(55)2542185fttttttt；当718t时，()55ftt.······10分所以237254218,,88()755,1.8tttfttt······11分因为()ft在37,88上的最大值是334188f，()ft在7,18上的最大值是7588f，所以()ft在3,18上的最大值是3418，不超过3.······14分CBA56、某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知23ABC，3ACD，路宽24AD米．设BAC()126≤≤（1）求灯柱AB的高h（用表示）；（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）解.（1）三角形ACD中，6CDA，由sinsinADACACDCDA，得sin163sin()sin6ADCDAACACD.................................3分三角形ABC中，3ACB由sinsinABACACBABC，得sin32sin()sin()sin63ACACBhABC()126...................6分（2）三角形ABC中，由sinsinBCACBACABC，得sin32sin()sinsin6ACBACBCABC.................................9分所以32sin()sin()32sin()sin636ABBC16sin283.......................................................11分因为126，所以263所以当12时，ABBC取得最小值88321.86......................13分制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米......14分ABCD67、松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”，兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H，在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角45HAP，过O点与OA成120的地面上选B点，使仰角45HBP（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得27OAB，A与B之间距离为33.6米，试求：（1）塔高；（即线段PH的长，精确到0.1米）（2）塔的倾斜度；（即OPH的大小，精确到0.1）解：(1)设塔高,PHx由题意知，45,45HAPHBP,所以,PAHPBH均为等腰直角三角形∴AHBHx……………2分在AHB中，AHBHx，27HAB，36.6AB∴16.8218.86coscos27ABxHAB……………6分(2)在BOH中，120BOH，1801202276OBH，18.86BH，由sinsinOHBHOBHBOH，得18.86sin62.28sin120OH……………10分∴2.28arctanarctan6.8918.86OHOPHPH……………13分所以塔高18.9米，塔的倾斜度为6.9。……………14分二、解析几何1、有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1,0)，如图.(1)求菜地内的分界线C的方程；PF制作(2)菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为83.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的“经验值”.xyEOFGH1S2SM120°HBPOA7解：(1)因为C上的点到直线EH与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以EH为准线的抛物线在正方形EFGH内的部分，其方程为24(02)yxy.(2)依题意，点M的坐标为1,14.所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114.矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312，所以五边形面积更接近于1S面积的“经验值”.2、如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km、710km5．测得tan3MON，6kmOA．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以182km/小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q）．（1）问游轮自