11-12学年高中数学-第二章-随机变量及其分布章末归纳总结课件-新人教A版选修2-3

第二章随机变量及其分布•我们已学过的几种典型事件有：古典概型、几何概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验，求解这些事件的概率是概率中常见的题型，也是高考中必考查的内容之一．解决概率问题的基本步骤是：•第一步：确定事件的性质．古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为四类事件的某一类．•第二步：判断事件的运算，和事件、积事件，确定事件有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘公式．第三步：运用公式求概率．古典概型：P(A)＝mn.互斥事件：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．条件概率：P(B|A)＝P(AB)P(A).独立事件：P(AB)＝P(A)P(B)．n次独立重复试验：Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k.说明：概率问题常与排列、组合知识相结合．[例1]设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()A.C480C6100C10100B.C680C410C10100C.C480C620C10100D.C680C420C10100[答案]D[解析]从100个球中任取10个球的方法有C10100种，从100个球中取10个球，恰有6个红球的方法有C680·C420.所以其概率为C680C420C10100，故选D.以概率为背景，实则考查两个计数原理，排列组合的基本知识和基本方法是高考的热点题型，不过这类问题的难度不大，只要掌握古典概型成比例的求概率的基本思想方法，并能灵活地运用排列组合的思想方法即可解决问题．[例2]某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为()A.81125B.54125C.36125D.27125[答案]B[解析]恰有两次击中目标的概率为C23×(0.6)2×(1－0.6)＝54125，所以选B.独立重复试验的概率是高考考查的热点问题，主要出现在选择题和填空题里，有时也会出现在解答题中，因此我们必须熟练地掌握解决这类问题的基本方法．•[例3](2010·全国Ⅱ理，20)如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.•(1)求p；•(2)求电流能在M与N之间通过的概率．•[分析]本题考查相互独立事件、互斥事件的概率求法．第1问利用对立事件求三个元件均不通电流的概率即可，第2问转化为互斥事件的概率，利用加法公式求解．[解析]记Ai表示事件：电流能通过Ti，i＝1,2,3,4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M与N之间通过．(1)A－＝A－1·A－2·A－3，A1，A2，A3相互独立，P(A－)＝P(A－1·A－2·A－3)＝P(A－1)P(A－2)P(A－3)＝(1－p)3.又P(A－)＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.(2)B＝A4＋A－4·A1·A3＋A－4·A－1·A2·A3，P(B)＝P(A4＋A－4·A1·A3＋A－4·A－1·A2·A3)＝P(A4)＋P(A－4·A1·A3)＋P(A－4·A－1·A2·A3)＝P(A4)＋P(A－4)P(A1)P(A3)＋P(A－4)P(A－1)P(A2)P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891.•求离散型随机变量的均值与方差是高考考查的重点内容之一，一定要熟练掌握．求离散型随机变量的均值与方差的一般步骤是：先列出随机变量X的分布列，再代入均值与方差的公式计算，另外还要熟记特殊分布(两点分布及二项分布)的均值与方差的计算公式•[例4]箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量的比为s：t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以X表示取球结束时已取到白球的次数．•(1)求X的分布列；•(2)求X的均值．[解析](1)X的可能取值为0,1,2，…，n.X的分布列如下表：X012…n－1nPss＋tst(s＋t)2st2(s＋t)3…stn－1(s＋t)nstn(s＋t)n＋1(2)X的均值为E(X)＝0×ss＋t＋1×st(s＋t)2＋2×st2(s＋t)3＋…＋(n－1)×stn－1(s＋t)n＋n×stn(s＋t)n①.ts＋tE(X)＝st2(s＋t)3＋2st3(s＋t)4＋…＋(n－2)stn－1(s＋t)n＋(n－1)stn(s＋t)n＋1＋sntn＋1(s＋t)n＋1②.①－②得，E(X)＝ts＋(n－1)tns(s＋t)n－1－(n－1)tn(s＋t)n－ntn＋1s(s＋t)n.•[点拨]以求均值为最终目标的题型是高考对本章知识以解答题形式考查的热点题型．解答这类问题关键在于分析随机变量取每一个值时所对应的随机事件，并求相应概率，再列出分布列即可．一般地，这类题型求其数学期望(均值)比较简单，不过本例中在求E(X)时需要用到错位相减法，这是高考命题的一个新动向，应引起我们的高度重视．•[例5](2009·江西·理18)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．•(1)写出ξ的分布列；•(2)求均值E(ξ)．[解析]本题主要考查概率问题以及离散型随机变量的分布列、均值的求法．(1)ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30P(ξ＝0)＝164P(ξ＝5)＝332P(ξ＝10)＝1564P(ξ＝15)＝516P(ξ＝20)＝1564P(ξ＝25)＝332P(ξ＝30)＝164所以ξ的分布列为ξ051015202530P16433215645161564332164(2)E(ξ)＝5×332＋10×1564＋15×516＋20×1564＋25×332＋30×164＝15.•(1)利用数形结合的思想方法解题．•(2)本章的内容很多是由图表给出的，这即是数形结合思想的应用，数形结合思想在高考中占有重要位置，是高考中重点考查的思想，它可以使题目的解答更形象、直观，一目了然．•[例6]如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P(|X－72|20)．[解析]φ(x)＝12π·10e－(x－72)2200，x∈(－∞，＋∞)，P(|X－72|20)＝P(|X－μ|2σ)＝P(μ－2σXμ＋2σ)＝0.9544.•[点拨](1)从图象入手，认识正态分布的有关知识，发挥图象的直观功能、提高解题效率．•(2)用分类讨论思想方法解题．•当所研究的问题比较多或不能统一研究时，则应分类进行研究，分类时要做到不重不漏，这就是分类讨论的数学思想．分类讨论的数学思想在高考中占有非常重要的地位，是解决数学问题的一种重要思想．[例7]某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是12，构造数列{an}，使得an＝1(当第n次出现正面时)－1(当第n次出现反面时)，记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．(1)求S4＝2的概率；(2)求前2次均出现正面，且2≤S6≤4的概率．[解析](1)S4＝2，即4次中有3次正面1次反面，设其概率为P1，则P1＝C34123×12＝4×124＝14.即S4＝2的概率为14.(2)6次中前2次均出现正面，要使2≤S6≤4，则后4次中有2次正面2次反面或3次正面1次反面．设其概率为P2，则P2＝12×12C24122×122＋12×12C34123×12＝532.•[点拨]对2≤S6≤4所包含的两种情况都要考虑到，本题考查了独立重复试验及其概率求法．