必修四-平面向量知识点梳理

必修四平面向量知识点梳理知识网络平面向量加法、减法数乘向量坐标表示两向量数量积零向量、单位向量、共线向量、相等向量向量平行的充要条件平面向量基本定理两向量的夹角公式向量垂直的充要条件两点的距离公式向量的概念解决图形的平行和比例问题解决图形的垂直和角度,长度问题向量的初步应用向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：（1）零向量：长度为0的向量，记作0.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量.（3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.一、平面向量概念几何表示:有向线段向量的表示字母表示:aAB、等坐标表示:(x，y)若A(x1,y1),B(x2,y2)则AB=(x2－x1,y2－y1)一、平面向量概念a向量的模（长度）1.设a=(x,y),则2.若表示向量a的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则ABa22yx221221yyxx一、平面向量概念1.向量的加法运算ABCAB+BC=三角形法则OABCOA+OB=平行四边形法则坐标运算:则a+b=重要结论：AB+BC+CA=0设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)ACOC一、平面向量概念2.向量的减法运算1）减法法则：OAB2）坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a－b=3.加法减法运算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：2）结合律：BA(x1－x2,y1－y2)OA－OB=一、平面向量概念练习_____;______;______;______;______.ABBDBABCBCCAODOAOAOB填空：ADBAADBACA,,120||||3||||oABaADbDABababab练习、如图已知向量，，且，求和120oabADBCO`|ba||DB||ba||AC|baDBbaAC3|AB||AD|ABCDADAB，故，由向量的加减法知，故此四边形为菱形由于，为邻边作平行四边形、解：以120oabADBCO`333||||sin60322oAODODAD由于菱形对角线互相垂直平分,所以是直角三角形，33|ba|3|ba|，所以3|AC|ADC60DAC120DABOO是正三角形，则所以，所以因为return4.实数λ与向量a的积定义：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！λa是一个向量.它的长度|λa|=|λ||a|；它的方向若a=(x,y),则λa=λ(x,y)=(λx,λy)(2)当λ＜0时,λa的方向与a方向相反.(1)当λ≥0时,λa的方向与a方向相同；一、平面向量概念则||aaa.ba存在唯一实数，使得结论:设表示与非零向量同向的单位向量.aaba与定理1:两个非零向量平行(方向相同或相反)一、平面向量概念向量垂直充要条件的两种形式:0)2(0)1(2121yyxxbabababa二、平面向量之间关系向量平行(共线)充要条件的两种形式:0)0),,(),,((//)2(;)0(//)1(12212211yxyxbyxbyxabababba（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等.即:那么),,(11yxa),(22yxb2121yyxxba且三、平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使21,ee,,21a2211eea1、平面向量数量积的定义：bacos||||ba2、数量积的几何意义：||||cos.aabab等于的长度与在方向上的投影的乘积OABθB1(四)数量积abba）（1）（）（））（（bababa2cbcacba））（（34、运算律:2121yyxxba3、数量积的坐标运算5、数量积的主要性质及其坐标表示：0012121yyxxbaba反向时，，当同向时，，当时，当babababababa//.221212,)3(yxaaaaaa222221212121cos4yxyxyyxxbaba),(是两个非零向量bababa5babababa有：、证明对任意例.1结论显然成立。有一个为，若证明,0)1(:ba,bAB,aOA,0ba)2(作都不为，若baOB则①他两边之差，其他两边之和，大于其边小于不共线时，由三角形一，当baABOAOBABOAbababa②ABOAOBba同向，则，若ABOAOBba反向，则，若abOBAbababababa或共线时，、综上所述：原命题成立例2..||31||||31||.,MNONOMbaCDCNBCBMCODABbOBaOAOADB，，表示、，用，且交于与，中，已知平行四边形CNDBMOA解:baOBOABAbaBABCBM61616131babBMOBOM6161ba6561例2..||31||||31||.,MNONOMbaCDCNBCBMCODABbOBaOAOADB，，表示、，用，且交于与，中，已知平行四边形CNDBMOACDODCNOCON3121)(baODODOD32326121ba3232baOMONMN6121例3、已知a=(3,-2)，b=(-2,1)，c=(7,-4)，用a、b表示c。解：c=ma+nb(7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7m=1-2m+n=-4n=-2c=a-2b4.,,,OAOB例如图不共线(),APtABtR,.OAOBOP用表示:,APtAB解OPOAAPOAtAB()(1).OAtOBOAtOAtOBOABP(1).OPtOAtOB()OPOAtOBOAAPtAB另解:可以试着将,OAOBOP用，表示出来.APtAB说明：(1)本题是个重要题型：设O为平面上任一点，则：A、P、B三点共线(1).OPtOAtOB或令=1t，=t，则A、P、B三点共线(其中+=1).OPOAOB(2)当t=时，常称为△OAB的中线公式(向量式)．121()2OPOAOB例5.设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(ab)，求证：A、B、D三点共线。分析要证A、B、D三点共线，可证AB=λBD关键是找到λ解：∵BD=BC+CD=2a+8b+3(ab)=a+5b∴AB=2BD∴A、B、D三点共线AB∥BD且AB与BD有公共点B例6.设非零向量不共线，若试求k.ba,,bakc),(Rkbkad,//dc解：∵,//dc∴由向量共线的充要条件得：,dc即),(bkabak又∵不共线ba,∴由平面向量的基本定理11kkk.1,2,,1,22.abxababx例7已知向量分别求出当与平行和垂直时实数的值222,3)1(2)//(2);27(2)(2)22ababxababababx解：=（1+2x，4）,（时，3(1+2x)-4(2-x)=0,x=时，（1+2x)(2-x)+43=0.x=-或解：设顶点D的坐标为（x，y）），（）），（　211321(AB)4,3(yxDC，得由DCAB)4,3()2,1(yxyx4231　　　22yx），的坐标为（　顶点22D例8．已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．例9.已知A(－2，1)，B(1，3)，求线段AB中点M和三等分点坐标P，Q的坐标.解：(1)求中点M的坐标，由中点公式可知M(－，2)21(2)因为=(1，3)－(－2，1)=(3，2)ABOBOA131(2,1)(3,2)35(1,)3OPOAAB232(2,1)(3,2)37(0,)3OQOAAB例10.设A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)满足(1)λ为何值时,点P在直线y=x上?(2)设点P在第三象限,求λ的范围.APABAC解:(1)设P(x,y)，则(x－2,y－3)=(3,1)+λ(5,7),所以x=5λ+5，y=7λ+4.21解得λ=(2)由已知5λ+50,7λ+40,所以λ－1.例11（1）已知=（4，3），向量是垂直于的单位向量，求.abab.//)2,1(,102的坐标，求，且）已知（ababa.43)5,(),0,3(3的值求，的夹角为与，且）已知（kbakba.532222222).54,53()54,53(1kbb））；（，）或（，）（（或）答案：（例12、以原点O和A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，求点B和AB的坐标。解：设点B的坐标为（x,y），则)2,5(),,(yxAByxOBABOB∴x（x-5）+y（y-2）=0即x2+y2–5x–2y=0①又ABOB∴x2+y2=（x-5）2+（y-2）2即10x+4y=29②由①、②解得：272323272211yxyx或∴点B的坐标为)23,27(或)27,23()27,23(AB或)23,27(AB例13、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD。（1）求证：AB⊥AC；（2）求点D和向量AD的坐标；（3）求证：AD2=BD·DC解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3)AB=(-3,-6)AC=(2,-1)AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0AB⊥AC（2）D(x,y)AD=(x-2,y-4)BC=(5,5)BD=(x+1,y+2)AD⊥BC∴AD·BC=05(x-2)+5(y-4)=0又B、D、C共线∴5×(x+1)-5(y+2)=0x+y-6=0x=D(,)x-y-1=0y=AD=(,-)272527252323（3）AD=(,-)BD=(,)DC=(,)|AD|=+=BD·DC=+=∴AD=BD·DC21294923232921492949492922例13、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD。（1）求证：AB⊥AC；（2）求点D和向量AD的坐标；（3）求证：AD2=BD·DC例14.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（）A.B.C.D.解析设a和b的夹角为θ，|a|cosθ=C1351356565|b|ba.56565137)4(73)4(222例15．已知1ba，且)54,53(ba求：①a与b的夹角θ；②ba21121)54,53(222＝＝＝）即（babbaabababa120]180,0[21cosbaba332222babbaaba解：解：∵22222121211222244aeeeeeeee222112144cos6041411172eeee∴7a同理可得7b22121211227232622abeeeeeeee712cos277abab∴θ=120°