清华工程流体力学课件第四章不可压缩流体的有旋2

2020/2/23工程流体力学第四章不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动第一节流体微团运动分析第二节有旋流动和无旋流动第三节无旋流动的速度势函数第四节二维平面流动的流函数第五节基本的平面有势流动第六节平面势流的叠加流动2020/2/23工程流体力学欢迎进入第四章的学习2020/2/23工程流体力学流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度的流动，无旋流动是指的流动。实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大量存在着的紊流运动，更是充满着尺度不同的大小旋涡。002020/2/23工程流体力学流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多，因此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。对工程中的某些问题，在特定条件下对黏性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。因此，本章先阐述有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二维平面势流理论。2020/2/23工程流体力学第一节流体微团运动分析刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。2020/2/23工程流体力学一、表示流体微团运动特征的速度表达式在运动流体中，在时刻t任取一正交六面体流体微团，其边长分别为dx、dy、dz，如图4-1所示。当选取该流体微团上的F(x，y，z)点为参考点时，则该点的速度分量分别为u(x，y，z)、v(x，y，z)、w(x，y，z)，其他各点的速度均可利用泰勒级数展开并略去二阶及以上无穷小量得到。因此C(x+dx，y+dy，z+dz)点的速度分量可表示为zzuyyuxxuuucdddzzvyyvxxvvvcdddzzwyywxx2020/2/23工程流体力学图4-1分析流体微团运动用图2020/2/23工程流体力学为了把流体微团的速度进行分解，并以数学形式表达出来，现将上式进行改造。在第一式右边yxvd21、zxwd21，在第二式右边xyud21、zywd21，在第三式右边xzud21、yzvd21，重新整理后可得到yyuxvzxwzuzxwzuyxvyuxxuuucd21d21d21d21dzzvywxyuxvzywzvxyuxvyvvvcd21d21d21d21dyxxwzuzzvywyzvywxzuxwzz2020/2/23工程流体力学剪切变形速率、、、、、，引入记号，并赋予运动特征名称：线变形速率、、，xx、yy、zz，zwyvxuzzyyxx,,xyyxyzzyxzzxxwzuzvywyuxvxzzxzyyzyxxy212121（4-1）（4-2）2020/2/23工程流体力学于是可得到表示流体微团运动特征的速度表达式为旋转角速度、、，xyzyuxvxwzuzvywzyx212121（4-3）xyyxzwwzxzxyvvyzzyxuuyxzyzxzzcxzyzyxyyczyxzxyxxcddddddddddddddd（4-4）2020/2/23工程流体力学式(4-4)表明，在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：①以流体微团中某点的速度作整体平移运动(u、v、w)；②绕通过该点轴的旋转运动(x、y、z)；③微团本身的变形运动(线变形xx、yy、zz和剪切变形xy、yz、zx)。2020/2/23工程流体力学二、流体微团运动的分解为进一步分析流体微团的分解运动及其几何特征，对式(4-4)有较深刻的理解，现在分别说明流体微团在运动过程中所呈现出的平移运动、线变形运动、角变形运动和旋转运动。为简化分析，仅讨论在平面上流体微团的运动。假设在时刻，流体微团ABCD为矩形，其上各点的速度分量如图4-2所示。由于微团上各点的速度不同，经过时间，势必发生不同的运动，微团的位置和形状都将发生变化，现分析如下。xoyttd2020/2/23工程流体力学1．平移运动由图4-2可知，微团上A、B、C、D各点的速度分量中均有u和v两项，在经过dt时间后，矩形微团ABCD向右、向上分别移动udt、vdt距离，即平移到新位置，形状不变，如图4-3()所示。式(4-4)中的第一项即为该流体微团平移运动的运动速度。图4-2分析流体微团平面运动用图a2020/2/23工程流体力学2．线变形运动在图4-2中，比较B与A、C与D点在x方向及D与A、C与B点在y方向的速度差可得：xxuuudAB，xxuuudDC；yyvvvdAD，yyvvvdBC。由此可知，流体线段AB和DC在dt时间内将伸长(或缩短)txxudd，同样，AB和BC线段将伸长(或缩短)tyyvdd。定义单位时间内单位长度流体线段的伸长(或缩短)量为流体微团的线变形速率，则沿x轴方向的线变形速率为xxxutxtxxu)d(ddd同理可得流体微团沿y轴方向和沿z轴方向的线变形速率分别为yvyy，zwzz上述即为式(4-1)及其物理意义。式(4-4)中的第二项所表示的便是该线变形运动所引起的速度变化。2020/2/23工程流体力学将x、y、z方向的线变形速率加在一起，有zwyvxuzzyyxx（4-5）对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表明流体微团在运动中体积不变。而三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。因此，不可压缩流体的连续性方程也是流体不可压缩的条件。在图4-3()中示出了该流体微团的平面线变形。b2020/2/23工程流体力学图4-3流体微团平面运动的分解(a)返回2020/2/23工程流体力学图4-3流体微团平面运动的分解(b)返回2020/2/23工程流体力学图4-3流体微团平面运动的分解(c)返回2020/2/23工程流体力学图4-3流体微团平面运动的分解(d)返回2020/2/23工程流体力学3．角变形运动在图4-2中，比较D和A、C和B在x方向及B和A、C和D在y方向的速度差可得：yyuuudAD，yyuuudBC；xxvvvdAB，xxvvvdDC。由此可知，若速度增量均为正值，流体微团在dt时间内则发生图4-3()所示的角变形运动。由图可见，由于D点和A点、C点和B点在x方向的运动速度不同，致使AD流体边在dt时间内顺时针转动了d角度；由于B点和A点、C点和D点在y方向的速度不同，致使AB流体边在dt时间内逆时针转动了d角度。于是，两正交流体边AB和AD在dt时间内变化了(d+d)角度。显然，微元角度d和d可由下列公式求得txvxtxxvddddtgddtyuytyyuddddtgddc2020/2/23工程流体力学通常把两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量定义为角变形速度，而把该夹角变化的平均值在单位时间内的变化量(角变形速度的平均值)定义为剪切变形速率。则在xy平面上，将流体微团的剪切变形速率记为xy(yxxy)，因此有同理，也可得到yz平面和zx平面上的剪切变形速率yz和zx。于是，过流体微团任一点A的三个正交微元流体面上的剪切变形速率分别为上述即为式(4-2)及其物理含义。式(4-4)中的第三、第四项所表示的便是由该剪切变形所引起的速度变化。yuxvtyxxy21d)/2dd(yuxvyxxy21zvywzyyz21xwzuxzzx212020/2/23工程流体力学4．旋转运动由图4-3(c)可知，流体微团在dt时间内出现了角变形运动。若微元角度d=d，则流体微团只发生角变形；若d=-d，即yuxv，则流体微团只发生旋转，不发生角变形，如图4-3()所示。一般情况下，dd，流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动。d2020/2/23工程流体力学在旋转运动中，用符号表示流体微团旋转角速度的大小，其定义为：过流体微团上A点的任两条正交微元流体边在其所在平面内旋转角速度的平均值，称作A点流体微团的旋转角速度在垂直该平面方向的分量。如图4-3(c)所示，在xy平面上，过A点的两正交流体边AB和AD，AB边在dt时间内逆时针旋转了微元角度d，AD边在dt时间内顺时针旋转了微元角度d，通常规定以逆时针旋转为正，则该两条正交微元流体边在xy平面内的旋转角速度的平均值为，于是得流体微团沿z轴方向的旋转角速度分量为yuxvtz21dd-d21tdd/)-d(212020/2/23工程流体力学同理可求得流体微团沿x轴方向和y轴方向旋转角速度的分量和。于是，以流体微团A点为轴的旋转角速度的三个分量分别为(4-6)写成矢量形式为（4-7）上述即为式(4-3)及其物理含义。式(4-4)中的第五、第六项所表示的便是由该旋转运动所引起的速度变化。yuxvxwzuzvywzyx212121222zyx)(21Vkjizyxxy2020/2/23工程流体力学综上所述，在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：整体平移运动、旋转运动、线变形运动及角变形运动，与此相对应的是平移速度、旋转角速度、线变形速率和剪切变形速率。2020/2/23工程流体力学第二节有旋流动和无旋流动一、有旋流动和无旋流动的定义二、速度环量和旋涡强度2020/2/23工程流体力学一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关，在图4-4(a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转