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1八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径,三棱锥与长方体的外接球相同)cab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPAabc图4PCO2BA方法:找三条两两垂直的线段,直接用公式2222)2(cbaR,即2222cbaR,求出R例1(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是()A.16B.20C.24D.32(2)若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是(3)在正三棱锥SABC中,MN、分别是棱SCBC、的中点,且MNAM,若侧棱23SA,则正三棱锥ABCS外接球的表面积是。解:引理:正三棱锥的对棱互垂直,证明如下:如图(3)-1,取BCAB,的中点ED,,连接CDAE,,CDAE,交于H,连接SH,则H是底面正三角形ABC的中心,SH平面ABC,ABSH,BCAC,BDAD,ABCD,AB平面SCD,SCAB,同理:SABC,SBAC,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3)-2,MNAM,MNSB//,SBAM,SBAC,SB平面SAC,SASB,SCSB,SASB,SABC,SA平面SBC,SCSA,故三棱锥ABCS的三棱条侧棱两两互垂直,36)32()32()32()2(2222R,即3642R,外接球的表面积是36(3)题-1HEDBACS(3)题-2MNABCS2(4)在四面体SABC中,ABCSA平面,,1,2,120ABACSABAC则该四面体的外接球的表面积为()11.A7.B310.C340.D(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是(6)已知某几何体的三视图如图上右所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设:如图5,PA平面ABC解题步骤:第一步:将ABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD,连接PD,则PD必过球心O;第二步:1O为ABC的外心,所以1OO平面ABC,算出小圆1O的半径rDO1(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理,得rCcBbAa2sinsinsin),PAOO211;第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①222)2()2(rPAR22)2(2rPAR;②2122OOrR212OOrR图5ADPO1OCB32.题设:如图6,7,8,P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等三棱锥ABCP的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点图6PADO1OCB图7-1PAO1OCB图7-2PAO1OCB图8PAO1OCB图8-1DPOO2ABC图8-2POO2ABC图8-3DPOO2AB解题步骤:第一步:确定球心O的位置,取ABC的外心1O,则1,,OOP三点共线;第二步:先算出小圆1O的半径rAO1,再算出棱锥的高hPO1(也是圆锥的高);第三步:勾股定理:21212OOAOOA222)(rRhR,解出R.方法二:小圆直径参与构造大圆。例2一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为A.3B.2C.316D.以上都不对类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)图9-1ACBP图9-2AO1OCBP图9-3PAO1OCB图9-4AO1OCBP1.题设:如图9-1,平面PAC平面ABC,且BCAB(即AC为小圆的直径)第一步:易知球心O必是PAC的外心,即PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径rAC2;第二步:在PAC中,可根据正弦定理RCcBbAa2sinsinsin,求出R。42.如图9-2,平面PAC平面ABC,且BCAB(即AC为小圆的直径)21212OOCOOC2122OOrR2122OORAC3.如图9-3,平面PAC平面ABC,且BCAB(即AC为小圆的直径),且P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP的三条侧棱相等三棱ABCP的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤:第一步:确定球心O的位置,取ABC的外心1O,则1,,OOP三点共线;第二步:先算出小圆1O的半径rAO1,再算出棱锥的高hPO1(也是圆锥的高);第三步:勾股定理:21212OOAOOA222)(rRhR,解出R4.如图9-3,平面PAC平面ABC,且BCAB(即AC为小圆的直径),且ACPA,则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①222)2()2(rPAR22)2(2rPAR;②2122OOrR212OOrR例3(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1,底面边长为32,则该球的表面积为。(2)正四棱锥ABCDS的底面边长和各侧棱长都为2,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积为(3)在三棱锥ABCP中,3PCPBPA,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外接球的体积为()A.B.3C.4D.43(4)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2SC;则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.225类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)图10-1C1B1AA1O1OO2BC图10-2C1B1AA1O1OO2BC图10-3C1B1AA1O1OO2BC题设:如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步:确定球心O的位置,1O是ABC的外心,则1OO平面ABC;第二步:算出小圆1O的半径rAO1,hAAOO212111(hAA1也是圆柱的高);第三步:勾股定理:21212OOAOOA222)2(rhR22)2(hrR,解出R例4(1)一个正六棱柱的底面上正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为89,底面周长为3,则这个球的体积为(2)直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上,若12ABACAA,120BAC,则此球的表面积等于。(3)已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,60,2,3AEBADEBEA,则多面体ABCDE的外接球的表面积为。(4)在直三棱柱111CBAABC中,4,3,6,41AAAACAB则直三棱柱111CBAABC的外接球的表面积为。6类型五、折叠模型题设:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠(如图11)第一步:先画出如图所示的图形,将BCD画在小圆上,找出BCD和BDA的外心1H和2H;第二步:过1H和2H分别作平面BCD和平面BDA的垂线,两垂线的交点即为球心O,连接OCOE,;第三步:解1OEH,算出1OH,在1OCHRt中,勾股定理:22121OCCHOH例5三棱锥ABCP中,平面PAC平面ABC,△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形,则三棱锥ABCP外接球的半径为.类型六、对棱相等模型(补形为长方体)题设:三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径(CDAB,BCAD,BDAC)第一步:画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;第二步:设出长方体的长宽高分别为cba,,,xBCAD,yCDAB,zBDAC,列方程组,222222222zacycbxba2)2(2222222zyxcbaR,补充:abcabcabcVBCDA31461第三步:根据墙角模型,22222222zyxcbaR,82222zyxR,8222zyxR,求出R,例如,正四面体的外接球半径可用此法。例6(1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.yxabczzyx图12DCAB图11H1EACOBDA'H2(1)题7(2)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是()A.433B.33C.43D.123(3)在三棱锥BCDA中,若,4,3,2BDACBCADCDAB则三棱锥BCDA外接球的表面积为。(4)在三棱锥ABCD中,5,6,7,ABCDACBDADBC则该三棱锥外接球的表面积为.(5)正四面体的各条棱长都为2,则该正面体外接球的体积为类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图13OACBP题设:90ACBAPB,求三棱锥ABCP外接球半径(分析:取公共的斜边的中点O,连接OCOP,,则ABOPOCOBOA21,O为三棱锥ABCP外接球球心,然后在OCP中求出半径)例7(1)在矩形ABCD中,4AB,3BC,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB,则四面体ABCD的外接球的体积为()A.12125B.9125C.6125D.3125(2)在矩形ABCD中,2AB,3BC,沿BD将矩形ABCD折叠,连接AC,所得三棱锥BCDA的外接球的表面积为.8类型八、锥体的内切球问题1.题设:如图14,三棱锥ABCP上正三棱锥,求其外接球的半径。第一步:先现出内切球的截面图,HE,分别是两个三角形的外心;第二步:求BDDH31,rPHPO,PD是侧面ABP的高;第三步:由POE相似于PDH,建立等式:PDPODHOE,解出r2.题设:如图15,四棱锥ABCP上正四棱锥,求其外接球的半径第一步:先现出内切球的截面图,HOP,,三点共线;第二步:求BCFH21,rPHPO,PF是侧面PCD的高;第三步:由POG相似于PFH,建立等式:PFPOHFOG,解出3.题设:三棱锥ABCP是任意三棱锥,求其的内切球半径方法:等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步:先画出四个表面的面积和整个锥体体积;第二步:设内切球的半径为r,建立等式:PBCOPACOPABOABCOABCPVVVVVrSSSSrSrSrSrSVPBCPACPABABCPBCPACPABABCABCP)(3131313131第三步:解出PBCOPACOPABOABCOABCPSSSSVr3习题:1.若三棱锥ABCS的三条侧棱两两垂直,且2SA,4SCSB,则该三棱锥的外接球半径为()A.3B.6C.36D.92.三棱锥ABCS中,侧棱SA平面ABC,底面ABC是边长为3的正三角形,32SA,则该三棱锥的外接球体积等于.3.正三棱锥ABCS中,底面ABC是边长为3的正三角形,侧棱长为2,则该三棱锥的外接球体积等于.4.三棱锥ABCP中,平面PAC平面ABC,△PAC边长为2的正三角形,BCAB,则三棱锥ABCP外接球的半径为.5.三棱锥ABCP中,平面PAC平面ABC,2AC,3PCPA,BCAB,则三棱锥ABCP外接球的半径为.6.三棱锥ABCP中,平面PAC平面ABC,2AC,PCPA,BCAB,则三棱锥ABCP外接球的半径为.图14HDABCPOE图15FEHDBACPOG
本文标题:八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)
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