二项式系数的性质及应用

1.3.2二项式系数的性质及应用二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn展形式的第k+1项为Tk+1=Cnkan-kbk1．杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示：nba)(111211331146411510105116152015611)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba()nab………………0111CC012222CCC01233333CCCC0123444444CCCCC012345555555CCCCCC01234566666666CCCCCCC0121......rnnnnnnnnCCCCCC1101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C第1行———第2行——第6行-第5行--第4行—第3行—-11121133114641151010511615201561对称与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等mnnmnCC杨辉三角《九章算术》杨辉《详解九章算法》中记载的表杨辉三角类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角.在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.因此,当n为偶数时,中间一项的二项式2Cnn系数取得最大值；当n为奇数时,中间两项的二项式系数12Cnn12Cnn相等，且同时取得最大值。最大值二项式系数的性质③各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：1bannnnnn2CCCC210这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(n2同时由于，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式．二项式系数的性质例1.证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令，则：1,1bannnnnnnnCCCCC)1(113210nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)()()(03120nnnnCCCC531420nnnnnnCCCCCC特值法1.(1-x)13的展开式中系数最小的项是()(A)第6项(B)第7项（C）第8项(D)第9项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为（）(A)20(B)219（C）220(D)220－1CD练习mCC.mnn同时有最大值，则与若1934或5726701267(12)xaaxaxaxax已知7)21()(:xxf设解0)1(a求：0x（1）令70(0)(120)1,fa即展开式右边即为0(0)1af例2726701267(12)xaaxaxaxax已知7)21()(:xxf设解721071)121()1(aaaaf7321...)2(aaaa1x（2）令1270170...()(1)(0)112aaaaaaaff例2726701267(12)xaaxaxaxax已知1357(3)aaaa7)21()(:xxf设解0127(3)(1)faaaa01237(1)faaaaa13572()(1)(1)aaaaff例2642075317217722107)21(.4aaaaaaaaaaaxaxaxaax则已知-2-10941093练习:小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值，然后解方程组整体求解例3:在(3x-2y)20的展开式中，求系数最大的项;解:设系数绝对值最大的项是第r+1项.则2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC即3(r+1)2(20-r)得2(21-r)3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为227855r812812892032TCxy杨辉三角的其它规律第0行11、杨辉三角的第2k-1行的各数字特点第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第n-1行111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC…………………………………第7行172135352171杨辉三角的第2k-1行(k是正整数)的各个数字都是奇数（质数的积）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第n-1行111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC…………………………………第7行1721353521712、杨辉三角中若第P行除去1外，P整除其余的所有数，则行数P是质数(素数)思考1求证:02122222()()()().nnnnnnnCCCCC略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由得011221102nnnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCCmnmnnCC02122222()()()().nnnnnnnCCCCC思考2求证：012123122nnnnnnCCCnCn证明：∵0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn01223122nnnnnnCCCnCn倒序相加法试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：021312nnnnnCCCC证明：在展开式中令a=1，b=－1得011nnnnnnnCaCabCb0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC02130nnnnCCCC即0213nnnnCCCC启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法.思考1:02122222()()()().nnnnnnnCCCCC略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由得011221102nnnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCCmnmnnCC02122222()()()().nnnnnnnCCCCC求证:思考21.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;3.常用赋值法解决二项式系数问题.