高中数学经典解题技巧和方法：(等差数列、等比数列)

第1页（共4页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司高中数学经典的解题技巧和方法（等差数列、等比数列）【编者按】等差数列、等比数列是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下等差数列、等比数列的经典解题技巧。首先，解答等差数列、等比数列这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。2．等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念。（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。好了，搞清楚了等差数列、等比数列的上述内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。一、有关等差数列的基本问题考情聚焦：1．等差数列作为高考中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。2．该类问题一般独立命题，考查等差数列的概念、性质、通项公式、前n项公式，有时与函数的单调性、不等式知识结合在一起命题。3．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。解题技巧：1．涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题；2．等差数列前n项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题；有时利用数列的单调性（d＞0,递增；d＜0，递减）；3．证明数列{na}为等差数列有如下方法：①定义法；证明1nnaad（与n值无关的常数）；②等差中项法：证明112(2,)nnnaaannN。例1：（2010·浙江高考文科·Ｔ19）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足56SS+15=0。第2页（共4页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司（Ⅰ）若5S=5，求6S及a1；（Ⅱ）求d的取值范围。【命题立意】本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前n项和求解即可。【规范解答】(Ⅰ)由题意知S6=5-15S=-3,6a=S6-S5=-8。所以115105,58.adad解得a1=7，所以S6=-3,a1=7(Ⅱ)方法一：因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8.[故d的取值范围为d≤-22或d≥22.方法二：因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.看成关于1a的一元二次方程，因为有根，所以222818(101)80ddd，解得22d或22d。二、有关等比数列的基本问题考情聚焦：1．等比数列作为高中数学的重点内容，在历年高考中都有所考查。2．该类问题有时单独命题，考查等比数列的概念、通项公式、前n项和公式；但更多的是与函数的单调性、不等式结合在一起，在知识交汇点处命题。3．选择、填空及解答题中都有可能出现，属中、高档题。解题技巧：（1）证明数列{na}为等比数列有如下方法：①定义法：证明1()nnaqna与值无关的非零常数。②等比中项法：211(2,)nnnaaannN。（2）求一般数列{na}通项公式时常用构造数列法、待定系数法等。例2：（2010·辽宁高考理科·Ｔ6）设{an}是有正数组成的等比数列，nS为其前n项和。已知a2a4=1,37S,则5S()（A）152(B)314(C)334(D)172【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式第3页（共4页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司【思路点拨】列出关于a1q的方程组，解出a1q再利用前n项和公式求出5S【规范解答】选B。根据题意可得：3113115114,(1)27114(1()5)3121412aqaqaqaqqS三、等差、等比数列综合问题考情聚焦：1．等差、等比数列作为高中数学的重点内容，在历年高考中都有所体现。2．单独考查等差数列或等比数列的问题较少，大部分题目是等差、等比数列在同一个题中出现，在两知识的交汇点处命题，同时考查其他数学知识、思想方法等。3．多以解答题的形式出现，属中、高档题目。例3：（2010·陕西高考理科·Ｔ１6）已知na是公差不为零的等差数列，11a且139,,aaa成等比数列（Ⅰ）求数列na的通项公式，（Ⅱ）求数列2na的前n项和nS【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前ｎ项和公式的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】已知关于d的方程dna2nanS【规范解答】（1）由题设知公差d01139a231n12d181,,,1121,0(1(1)1(2)2,2(12)222222.12nnnnnnndaaaadddaannS由成等比数列得解得舍去）故的通项由（1）知2【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。2．数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由nS求通项，累加法、累乘法等3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。4．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的第4页（共4页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．