【人教B版】选修2-2：3.2.2《复数的乘法与除法》ppt课件

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·选修2-2数系的扩充与复数的引入第三章3.2复数的运算第2课时复数的乘法与除法第三章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习在研究复数的乘法时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则让第一项与第二项的各项分别相乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果.多项式(a＋b)(c＋d)的运算结果是什么？答案：(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋bc＋bd.一、复数的乘法1．复数乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，定义z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.显然，两个复数的积仍然为复数．注意：由定义可以看出，复数的乘法可以按照多项式乘法的运算方式来实施：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bdi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．乘法的运算律设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i(ai，bi∈R，i＝1,2,3)，则z1z2＝(a1＋b1i)＋(a2＋b2i)＝a1a2＋a1b2i＋a2b1i＋b1b2i2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i，z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i)＝a2a1＋a2b1i＋a1b2i＋b1b2i2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i，所以z1z2＝z2z1.同理可证(z1z2)z3＝z1(z2z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.复数的乘法运算满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.3．复数的乘方(1)复数的乘方是相同复数的积，即把z·z·…·z(n个z)(n∈N＋)称为复数的n次幂，记为zn.(2)根据复数乘法的运算律，在实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的z1，z2，z∈C及m，n∈N＋，有zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zn1zn2.注意：(1)规定z0＝1，z－m＝1zm(z≠0，m∈N＋)，则复数指数幂的运算可以把m，n推广到整数集，即m，n∈Z(注意：只推广到整数集)．(2)实数集内乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在复数集内不一定成立．如：①z∈R时，|z|2＝z2.z∈C时，|z|2∈R，而z2∈C，∴|z|2≠z2.②z1，z2∈R时，z21＋z22＝0⇔z1＝0且z2＝0.z1，z2∈C时，z21＋z22＝0⇒/z1＝0且z2＝0，但z1＝0，z2＝0⇒z21＋z22＝0.也就是说，两个复数的平方和为零，是这两个复数同时为零的必要不充分条件．(2015·北京理，1)复数i(2－i)＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i[答案]A[解析]i(2－i)＝1＋2i.二、复数的除法1．复数的倒数已知z＝a＋bi(a，b∈R，且ab≠0)，如果存在一个复数z′，使z·z′＝1，则z′叫做z的倒数，记作1z，设1z＝x＋yi，则(a＋bi)(x＋yi)＝1，两边同乘(a－bi)，得(a－bi)(a＋bi)·(x＋yi)＝a－bi，(a2＋b2)(x＋yi)＝a－bi，因此x＋yi＝a－bia2＋b2＝aa2＋b2－ba2＋b2i，即1z＝aa2＋b2－ba2＋b2i，显然1z＝z－|z|2.2．复数除法的运算法则(a＋bi)÷(c＋di)＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic2＋d2＝ac＋bd＋bc－adic2＋d2＝a＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.注意：复数的除法实质上就是分母实数化的过程，即分子、分母同时乘分母的共轭复数．这与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分化简，得出结论，而复数的除法因为分母为复数，一般不能约分化简，但如果分子、分母含有相同的因式，也可直接约分，如2＋4i1＋2i＝21＋2i1＋2i＝2，可直接约分，但2＋2i1＋2i无法约分化简，只能按复数除法运算法则进行计算．复数z满足(z－i)(2－i)＝5，那么z＝()A．－2－2iB．－2＋2iC．2－2iD．2＋2i[答案]D[解析]本题考查了复数的四则运算主要是除法运算．(z－i)(2－i)＝5⇔z－i＝52－i⇔z＝i＋52＋i2－i2＋i＝2＋2i.故选D.对于复数的考查重点是复数的乘法、除法运算．三、简化复数运算的常用结论1．in(n∈N＋)的周期性计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方，in有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i2＝1，从而对于任何n∈N＋，有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1，这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.注意：(1)上述公式中，说明in(n∈N＋)具有周期性，且最小正周期是4.(2)n可推广到整数集．(3)4k(k∈Z)是in(n∈N＋)的周期．显然in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．因为in(n∈N＋)具有周期性，解题时要灵活运用，或适当变形，创造条件转化为i的计算．一般地，有(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.2．ω的性质由方程x3－1＝0，得x1＝1，x2,3＝－1±3i2，取ω1＝－1＋3i2，ω2＝－1－3i2，则具有如下关系：(1)ω31＝ω32＝1；(2)1＋ω1＋ω2＝0；(3)ω21＝ω2或ω22＝ω1；(4)ω1＝ω－2且ω－1＝ω2；(5)ω1·ω2＝1，ω1＝1ω2，ω2＝1ω1；(6)ω3n＝1，ω3n＋1＝ω，ω3n＋2＝ω2.同样地，ω具有周期性，解题时灵活运用，适当变形，巧用ω的性质，从而达到事半功倍的效果．3．共轭复数的性质在解题过程中，若能利用共轭复数的性质对问题进行等价变形、化简，可使复杂问题简单化，设z＝a＋bi(a，b∈R)．(1)|z－|＝|z|；(2)z·z－＝|z|2＝|z－|2≠z2；(3)z∈R⇔z＝z－，非零复数z为纯虚数⇔z＋z－＝0；(4)z＋z－＝2a，z－z－＝2bi；(5)z1±z2＝z1±z2，z1·z2＝z1·z2，(z1z2)＝z1z2(z2≠0)．(6)zn＝(z)n.4．复数的模的运算性质设z＝a＋bi(a，b∈R)，|z|＝a2＋b2，(1)|z|＝|z－|；(2)|z1·z2|＝|z1|·|z2|；(3)|z1z2|＝|z1||z2|(z2≠0)；(4)|zn|＝|z|n；(5)|z|＝1⇔z·z＝1；(6)|z|2＝|z|2＝|z2|＝|z2|＝z·z－.设z＝12＋32i(i是数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝()A．6zB．6z2C．6z－D．－6z[答案]C[解析]z2＝－12＋32i，z3＝－1，z4＝－12－32i，z5＝12－32i，z6＝1，∴原式＝(12＋32i)＋(－1＋3i)＋(－3)＋(－2－23i)＋(52－532i)＋6＝3－33i＝6(12－32i)＝6z－.课堂典例探究复数的乘除法计算下列各题．(1)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；(2)1＋i71－i＋1－i71＋i－3－4i2＋2i34＋3i；(3)(－32－12i)12＋(2＋2i1－3i)8.[解析](1)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.(2)原式＝[(1＋i)2]31＋i1－i＋[(1－i)2]3·1－i1＋i－83－4i1＋i21＋i3－4ii＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i1＋ii＝8＋8－16－16i＝－16i.(3)原式＝(－i)12·(－32－12i)12＋(1＋i12－32i)8＝(－12＋32i)12＋[1＋i2]4·12－32i[12－32i3]3＝[(－12＋32i)3]4＋(－8＋83i)＝1－8＋83i＝－7＋83i.[方法总结](1)复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如i的幂运算，先利用i的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算．(2)对于复数的运算，除应用四则运算法则之外，对于一些简单的算式要知道其结果，计算过程就可以简化，起到快速简捷出错少的效果，如下结果，要记住．①(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i；1i＝－i.②若ω＝－12＋32i，则ω3＝1，ω2＝ω＝1ω，1＋ω＋ω2＝0.(1)(2015·湖南理，1)已知1－i2z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i[答案]D[解析]由题意得，z＝1－i21＋i＝－2i1＋i＝－1－i，故选D.(2)(2015·会宁县期中)复数z＝－3＋i2＋i的共轭复数是()A．2＋iB．2－iC．－1＋iD．－1－i[答案]D[解析]本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的求法．z＝－3＋i2＋i＝－3＋i2－i2＋i2－i＝－5＋5i5＝－1＋i，故z的共轭复数为－1－i.在将复数的分母实数化时，要注意i前的系数的正负．(3)计算1i(2＋2i)5＋11＋i4＋1＋i1－i7.[解析]原式＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋11＋i22＋i7＝162(－1＋i)－14－i＝－162＋14＋(162－1)i.共轭复数的应用设z1·z2∈C，且|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.[分析]解答本题可由|z1＋z2|＝2，结合z·z＝|z|2求解，或运用复数及其运算的几何意义．[解析]解法1：∵|z1＋z2|2＝(z1＋z2)(z1＋z2)＝(z1＋z2)·(z1＋z2)＝z1·z1＋z2·z2＋z1·z2＋z1·z2＝2，又∵z1·z1＝|z1|2＝1，z2·z2＝|z2|2＝1，∴z1·z2＋z1·z2＝0.而|z1－z2|2＝(z1－z2)(z1－z2)＝(z1－z2)(z1－z2)＝z1·z1＋z2·z2－(z1·z2＋z2·z1)＝|z1|2＋|z2|2＝2，∴|z1－z2|＝2.解法2：由复数运算的几何意义及|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2.知原点O和z1，z2，z1＋z2在复平面内的对应点构成正方形，且正方形边长为1，又|z1－z2|表示其中一条对角线的长，故|z1－z2|＝2.[方法总结](1)涉及共轭复数的题目，要充分利用共轭复数的性质：如z＋z等于z的实部的两倍，z·z＝|z|2等，另外注意复数问题实数化及方程思想的应用．(2)求模问题往往和复数的加减运算的几何意义相联系．设z1、z2∈C，z1≠z2，A＝z1z2＋z1z2，B＝z1z1＋z2z2，问A与B可否比较大小，请说明理由．[解析]∵z1、z2∈C，z1≠z2，∴设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，∴B＝(a＋bi)(a－bi)＋(c＋di)(c－di)＝a2＋b2＋c2＋d2，∴B∈R.又∵A＝z1z2＋z2z1＝z1z2＋z2z1＝z1·z2＋z2·z1＝A，∴A∈R，∴A、B可以比较大小.in的周期性计算：(1)(2＋1i15)－(1＋i2)22；(2)－23＋i1＋23i＋(21－i)2014.[解析](1)原式＝(2＋ii16)－1＋i22222＝(2＋i)－2i11211＝2＋i－i11＝2＋i－i3＝2＋i＋i＝2＋2i.(2)原式＝i1＋23i1＋23i＋[(21－i)2]100