导数的四则运算法则

1.2.3导数的四则运算法则一．函数和（或差）的求导法则设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))’=f’(x)±g’(x).即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差).'')'(vuvu即证明：令y=f(x)+g(x)，则()()[()()]yfxxgxxfxgx[()()][()()]fxxfxgxxgxfgyfgxxx0000limlimlimlimxxxxyfgfgxxxxx即'()'''yfgfg同理可证'()'''yfgfg这个法则可以推广到任意有限个函数，即1212()''''nnffffff二．函数积的求导法则设f(x)，g(x)是可导的函数，则[()()]''()()()'()fxgxfxgxfxgx两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即'')'(uvvuuv证:),()()(xvxuxfy),()()()()()()()()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxvxuxxvxxuy.)()()()()()(xxvxxvxuxxvxxuxxuxy因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当Δx→0时,v(x+Δx)→v(x).从而:);()()()()()(lim)()()()(limlim000xvxuxvxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxyxxx推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:.)(uCCu三．函数的商的求导法则设f(x)，g(x)是可导的函数，g(x)≠0，两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，2()'()()()'()[]'()()fxfxgxfxgxgxgx即例1．求多项式函数f(x)=的导数。1011nnnnaxaxaxa解：f’(x)=1011()'nnnnaxaxaxa12011(1)nnnanxanxa例2．求y=xsinx的导数。解：y’=(x·sinx)’=x’·sinx+x·(sinx)’=sinx+xcosx.例3．求y=sin2x的导数。解：y’=(2sinxcosx)’=2(cosx·cosx－sinx·sinx)=2cos2x.例4．求y=tanx的导数。解：y’=sin()'cosxx22coscossinsin1coscosxxxxxx例5．求y=·cosx的导数.x1解法一：y’=(·cosx)′=()’cosx+(cosx)′1x1x1xxxxxxxxxxxxxxxxxx2sin2cossin12cossin1cos21sin1cos)(32321解法二：y’=(·cosx)’=()′1xxxcosxxxxxxxxxx21221cossin)()(cos)(cosxxxxxxxxxxxxxxx2sin2cos2cossin2cos21sin例6．求y=的导数.xx311'()'3xyx解：2222(1)(3)(1)(3)(3)xxxxx222222)3(32)3()2)(1(3xxxxxxx练习题1．函数y=sin2x的导数为（）（A）y’=cos2x（B）y’=2cos2x（C）y’=2(sin2x－cos2x)（D）y’=－sin2xB2．下列曲线在点x=0处没有切线的是（）（A）y=x3＋sinx（B）y=x2－cosx（C）y=x+1（D）y=3xcosxxD3．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，且f(x)，g(x)满足f’(x)=g’(x)，则f(x)与g(x)满足（）（A）f(x)＝g(x)（B）f(x)－g(x)为常数函数（C）f(x)=g(x)=0（D）f(x)+g(x)为常数函数B4．曲线y=x3＋x2＋l在点P(－1，1)处的切线方程为.y=x＋25．曲线y=sinx在点P(,)处的切线的倾斜角为.4222arctan26．函数y=sinx(cosx＋1)的导数为.y’=cos2x+cosx7．已知抛物线y=x2＋bx＋c在点(1，2)处与直线y=x＋1相切，求b，c的值．12bc8．若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．解：∵y=x3－3x2＋2x，∴y’=3x2－6x+2，y’|x=0=2，又∵直线与曲线均过原点，∴当直线y=kx与曲线y=x3－3x2＋2x相切于原点时，k=2．若直线与曲线切于点(x0，y0)（x0≠0）.则k=又点(x0，y0)也在曲线y=x3－3x2＋2x上,2000032yxxx00yx∴y0=x03－3x02+2x0,又∵y’=3x2－6x＋2，∴k=3x02－6x0＋2，∴x02－3x0＋2=3x02－6x0＋2,∵x0≠0,∴x0=23k=3x02－6x0＋2=－，41∴2x02－3x0=0．综上所述，k=2或k=－41