平面向量的基本概念和线性运算

了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．3．掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义．4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．5．了解平面向量的基本定理及其意义.用辽大教辅考名牌大学复习策略本讲涉及知识点基础而广泛，概念性强，因此在复习时，应紧扣定义，理顺关系，通过适量练习，掌握基本解题规律、方法．在2011年高考中，陕西卷第6题、四川卷第7题等都对本讲进行了考查．重点解决：(1)平面向量的概念的理解；(2)平面向量的线性运算及其应用；(3)平面向量基本定理及其应用.平面向量的有关概念(1)向量的定义：________________________叫做向量．(2)表示方法：用有向线段来表示向量．_______________表示向量的大小，用________________表示向量的方向．向量用字母a，b，…或用AB→，BC→，…表示．(3)模：向量的________叫向量的模，记作|a|或|AB→|.(4)零向量：________的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向________．(5)单位向量：长度为____________的向量叫做单位向量．既有大小又有方向的量有向线段的长度箭头所指的方向长度长度为零不确定1个单位长度用辽大教辅考名牌大学(6)共线向量：______________的向量叫做共线向量，规定零向量与任何向量________．(7)相等的向量：_________________的向量叫做相等的向量．方向相同或相反共线长度相等且方向相同向量就是有向线段吗？【答案】向量不是有向线段．有向线段是向量的一种直观表示．是研究向量所采取的一种呈现形式，向量可以自由平行移动，而有向线段则不可以；再就是对有向线段来说，平行与共线是不同的，而对向量而言，平行与共线是同一概念．．向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)运算法则：________法则、___________法则．(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．3．实数与向量的积定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|＝________.当________时，λa的方向与a的方向相同；当________时，λa的方向与a的方向相反；当________时，λa与a平行．三角形平行四边形|λ||a|λ＞0λ＜0λ＝0．两个重要定理(1)向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是_____________实数λ，使得________，即b∥a⇔b＝λa(a≠0)(2)平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，____________实数λ1、λ2，使a＝_____________.有且仅有一个b＝λa不共线有且仅有一对λ1e1＋λ2e2、B、C共线？【答案】首先求出AB→、AC→，然后证明AB→＝λAC→(λ∈R)，即AB→与AC→共线即可．→的大小，也就是向量AB→的长度(或“称模”)，记作|AB→|.a的模为|a|.向量是既有大小又有方向的量，不同于数量，而向量的模是正数或0，可以进行大小比较．2．零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.显然|0|＝0，但零向量的方向是不确定的．．平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量．平行向量也叫做共线向量．若向量a、b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行．．相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(1)向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可．(2)向量a，b相等记作a＝b.(3)零向量都相等．(4)任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关．．对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小．(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同．向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上；而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上．(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.用辽大教辅考名牌大学例题示范[典例1]给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB→与向量CD→是共线向量则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为()A．2B．3C．4D．5用辽大教辅考名牌大学【答案】C【解析】①中，∵向量AB→与BA→为相反向量，∴它们的长度相等．∴该命题正确．②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反．∴该命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同．∴该命题正确．用辽大教辅考名牌大学④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线．∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点不一定在一条直线上．∴该命题错误．⑥∵零向量不能用有向线段来表示，∴该命题错误．用辽大教辅考名牌大学【点评】(1)本题涉及的主要内容有向量的概念、向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共线向量．(2)搞清楚向量的含义．向量不同于我们以前学习过的数量，学习时应结合物理中位移等向量进行观察、抽象、分析、比较，逐步理解向量是既有大小又有方向的量.用辽大教辅考名牌大学我来试试[练习1]下列命题中正确的有________．①|a|＝|b|⇒a＝b②若a＝b，b＝c，则a＝c③|a|＝0⇒a＝0④a∥b，b∥c⇒a∥c⑤若A、B、C、D是不共线的四点，则AB→＝DC→⇔四边形ABCD是平行四边形用辽大教辅考名牌大学【答案】②③⑤【解析】①模相同，方向不一定相同，故①不正确；②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确；③只有零向量模才为0，故③正确；④若b＝0，则a与c不一定平行，故④不正确；⑤AB→＝DC→，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等，故⑤正确．故应选②③⑤.向量的加法(1)向量的加法定义已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b.如图所示．用辽大教辅考名牌大学求两个向量和的运算叫做向量的加法．对于零向量与任意向量a有0＋a＝a＋0＝a.说明①两个向量的和仍然是向量．②可借助物理学中力的合成、位移等知识来理解向量的加法．用辽大教辅考名牌大学(2)向量加法的三角形法则①向量加法的三角形法则适用于两向量首尾相连的情况．“首尾相连”具体是指：后一个向量的起点与前一个向量的终点重合，则第一个向量的起点指向第二个向量的终点的有向线段表示它们的和向量，向量加法的三角形法则也可适用于多个向量的加法运算．②当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且有|a＋b|＜|a|＋|b|.③当a与b共线时，即a与b同向、反向或其中至少一个为零向量时，三角形法则仍适用．用辽大教辅考名牌大学(3)向量加法的平行四边形法则以同一点A为起点的两个已知向量a，b所对应的AB→，AD→为邻边作▱ABCD，则以A为起点的对角线AC→就是a，b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图所示．用辽大教辅考名牌大学(4)向量加法的运算律向量加法满足交换律、结合律：①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量的减法(1)相反向量与a长度相同，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a，零向量的相反向量仍是零向量．①－(－a)＝a.②a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.③若a，b互为相反向量，则a＋b＝0，a＝－b，b＝－a.(2)向量的减法a与b的相反向量的和，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算，叫做向量的减法．向量减法的实质是向量加法的逆运算．用辽大教辅考名牌大学(3)向量减法的几何作法在平面上任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b，如图所示．a－b表示从b的终点出发指向a的终点的向量．用辽大教辅考名牌大学①以上作法称为三角形法则，作向量减法运算可归纳为：“平移共起点，连结两终点，方向指被减”．②平行四边形法则也可作向量的减法，即以AB→＝a，AD→＝b为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量BD→＝b－a，DB→＝a－b，如图所示，这一结论在向量的运用中非常广泛．用辽大教辅考名牌大学③关于两向量及它们的和与差，其长度之间有以下重要性质：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|要注意等号成立的条件：||a|－|b||≤|a＋b|等号成立的条件是a、b中有一个为零向量或a、b共线且反向．|a＋b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是a，b中有一个为零向量或a、b共线且同向．．实数与向量积的概念实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.用辽大教辅考名牌大学注意(1)实数与向量的积定义的理解：λa可以认为是把向量a的长度扩大(当|λ|＞1时)，也可以缩小(当|λ|＜1时)，同时，不改变a的方向(当λ＞0时)，也可以变为原来的相反方向(当λ＜0时)．(2)特殊情况：当λ＝0时，λa＝0，当λ≠0时，若a＝0也有λa＝0.(3