复数的三角形式及乘除运算

1复数的三角形式及乘除运算一、主要内容:复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.二、学习要求:1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.三、重点:复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.四、学习建议:1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和辐角来表示，设其模为r，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.代数形式r=三角形式Z=a+bi(a,b∈R)Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值.五、基础知识1）复数的三角形式①定义：复数z=a+bi（a,b∈R）表示成r（cosθ+isinθ）的形式叫复数z的三角形式。即z=r（cosθ+isinθ）其中zrθ为复数z的辐角。②非零复数z辐角θ的多值性。始边，向量oz所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角以ox轴正半轴为因此复数z的辐角是θ+2k（k∈z）③辐角主值表示法；用argz表示复数z的辐角主值。2）的角θ叫辐角主值02argz定义：适合[0，唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。④不等于零的复数的模zr是唯一的。2⑤z=0时，其辐角是任意的。⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法）这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。2）复数的向量表示在复平面内与复数z1、z2对应的点分别为z1、z2（如图）何量ozz11对应于何量ozz22对应于何量zzzzz1221对应于与复数z2－z1对应的向量为oz显然oz∥z1z2则argz1=∠xoz1=θ1argz2=∠xoz2=θ2argz（z2－z1）=argz=∠xoz=θ3）复数运算的几何意义主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化如z1=r1（cosθ1+isinθ1）z2=r2（cosθ2+isinθ2）①乘法：z=z1·z2=r1·r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为ozozoz12显然积对应的辐角是θ1+θ21若θ20则由oz1逆时针旋转θ2角模变为oz1的r2倍所得向量便是积z1·z2=z的向量oz。2若θ20则由向量oz1顺时针旋转2角模变为r1·r2所得向量便是积z1·z2=z的向量oz。为此，若已知复数z1的辐角为α，z2的辐角为β求α+β时便可求出z1·z2=zaz对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。②除法zzzzzrri1212121212[cos()sin()]（其中z2≠0）除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：1210时顺时针旋转角２oz。2２２时逆时针旋转角01oz。3例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:(1)Z1=-2(cosθ+isinθ)(2)Z2=cosθ-isinθ(3)Z3=-sinθ+icosθ(4)Z4=-sinθ-icosθ(5)Z5=cos60°+isin30°分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率.解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z1=Z(-cosθ-isinθ)复平面上Z1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限（假定θ为锐角），余弦“-cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]（2）由“加号连”知，不是三角形式复平面上点Z2(cosθ,-sinθ)在第四象限（假定θ为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.∴Z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.（3）由“余弦前”知，不是三角形式复平面上点Z3(-sinθ,cosθ)在第二象限（假定θ为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式“+θ”将θ变换到第二象限.∴Z3(-sinθ,cosθ)=cos(+θ)+isin(+θ)同理（4）Z4=-sinθ-icosθ=cos(π-θ)+isin(π-θ)（5）Z5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=·(cos+isin)=(cos+isin)小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ(πθ2π)的模与辐角主值.分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2-1)+2i·sincos=2cos(cos+isin)........(1)∵πθ2π∴π,∴cos0∴(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cos[cos(π+)]+isin(π+)]4∴r=-2cos,ArgZ=π++2kπ(k∈Z)∵π∴ππ+2π，∴argZ=π+.小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos,argZ=或ArgZ=错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如Z1=1-cosθ+isinθ(πθ2π)，Z2=1+cosθ-isinθ(πθ2π)等类似问题.例3．将Z=(πθ3π)化为三角形式，并求其辐角主值.分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.解:====cos2θ+isin2θ∵πθ3π,∴2θ6π,∴π2θ-4π2π，∴argZ=2θ-4π小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itgθ,tgθ+i,i-ctgθ等.2．复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离，复数模|Z1-Z2|的几何意义是:复平面上两点Z1，Z2之间距离.辐角几何意义是:以x轴正半轴为角始边，以向量所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0，2π)范围内的辐角称辐角主值，记为argZ.要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.解:法一，数形结合由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.显然1≤|Z|≤3,∴|Z|max=3,|Z|min=1,另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知∠AOC=∠BOC=，∴argZ∈[0,]∪[π,2π)法二:用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi(x,y∈R)则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,5∴|Z|=≤=,∵(x-2)2+y2≤1,∴(x-2)2≤1,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,∴1≤4x-3≤9,∴1≤|Z|≤3.小结:在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势，通过分析与比较都一目了然.例5．复数Z满足arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|最小值.分析:由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA，∠xOA=π,而|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|将B(-3,0)与C(3,3)连结，BC连线与OA交点为D，取Z+3为D点，表示复数时，|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3,∴所求最小值=3.法二:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是射线OA，则Z轨迹应是平行于OA，且过点（-3，0）的射线BM，∴|Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和，连结PQ与射线BM交于点N，取E为N点表示复数时，|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3,∴所求最小值=3.小结:两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便.例6．已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值.解：∵|Z-2i|≤1,∴点Z轨迹是以（0，2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点Z，连Z与点（0，4）得一以（0，4）为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg(Z-4i)最大值为π.3．两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义同乘法.由复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转问题，如等腰、等边三角形、直角三角形，平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.复数三角形式较之代数形式，在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运算.例7．若与分别表示复数Z1=1+2i,Z2=7+i,求∠Z2OZ1并判断ΔOZ1Z2的形状.6解:欲求∠Z2OZ1，可计算====∴∠Z2OZ1=且=，由余弦定理，设|OZ1|=k,|OZ2|=2k(k0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k·2k·cos=3k2∴|Z1Z2|=k,而k2+(k)2=(2k)2，∴ΔOZ1Z2为有一锐角为60°的直角三角形.小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.例8．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点