高等数学部分习题答案摘录

次序不定积分基本积分公式不定积分第一换元法(凑微分法)不定积分第二换元法不定积分的倒数换元法不定积分分部积分法不定积分有理函数积分法不定积分三角有理式的特殊情形定积分的定义定积分变上限积分定积分的性质定积分的换元法定积分的分部积分法利用对称性求定积分定积分的应用向量代数其他类型习题简称上册：《高等数学》上册南开大学数学科学学院刘光旭张效成赖学坚编下册：《高等数学》下册南开大学数学科学学院刘光旭张效成赖学坚编讲义：《高等数学习题课讲义》（第三版）上册薛运华赵志勇编著提示在文档中可以用Ctrl+F搜索关键字，例如“利用对称性求定积分”，“231页B1”等，这样能更快地查找。不定积分基本积分公式不定积分第一换元法(凑微分法)1.如果被积函数中明显含有复合函数，就能顺藤摸瓜，找到中间变量，也就是找到凑微分的对象。只要在被积函数中再找出，就可以凑微分了（允许差一个常倍数）。2.如果复合函数不明显，但被积函数中有一个因子适合看成，也可以先凑微分，再看剩余部分能否理解成的函数.3.有些题则需要主动进行恒等变形，将被积函数中分解成与的乘积。讲义112页14.2(9)006解题思路如下008分子分母同时乘以x，xdx凑微分也可以直接令t=如果把x换成tant呢？估计也行。011012上册200页A1(62)013022先通分，然后注意到是的导数，是f的导数于是可以通过商的导数公式凑出来不定积分第二换元法以去掉根号，简化运算为最终目的，其他的都是手段总结规律是为了提高尝试的成功率熟练掌握后，什么招好使就使什么招，规律也有例外003028上册198页A1(16)上面的解答有点小问题还可以这样因为不定积分是在某个区间内求原函数，两种区间只能取其中一个（也可以是子区间），所以也可以不讨论。假设换个题，被积函数处处有定义，就得注意讨论了。但是中，x-1时，这两个C不相等，前一个叫C1比较好。如果是用表示原函数，则必须分类讨论了。因为有x的奇数次方，这样更省事。032035讲义习题15.2(7)还要把t换回x041令t=，可以算，但很麻烦所以选取以下做法不定积分的倒数换元法024上册200页(63)忘了+C不定积分分部积分法图里写得不太正式，第一行的意思是，首选对数函数、反三角函数作u(x)，剩下的凑成dv如果没有，再选多项式函数作u(x)解方程的例子：抽象函数的例子：抵消的例子：048上册201页A2002上册198页(21)解法二004解法二上面的解法忘记+C007分部积分时，首选对数函数、反三角函数作u(x)这题两个都出现了，任选一个作u(x)，先干掉一个，剩下那个就好办了上面的方法选择对数函数作u(x)，下面的方法选择反三角函数作u(x)，都是可以的（跳步的地方请读者自行脑补）实际上，也可以选择对数函数和反三角函数的乘积作u(x)，解法如下009上册199页(39)39题答案是错的，正确计算会比较麻烦，可以跳过此题。这个函数在x=1不可导，所以在点x=1不能用分部积分法,需要先求其他处的原函数，然后利用原函数连续性求出x=1处的值。详细解答如下：010上册199页(40)不定积分有理函数积分法部分分式就这四种只要分母中有二次不可约因式，分子就是一次多项式否则分子是常数有理真分式如何拆成部分分式1、先把分母f(x)因式分解，分解成一次因式、二次不可约因式的乘积2、凡是分母能够整除f(x)的部分分式都要在右式出现，不能整除的不出现3、右式通分，对比两边的分子4、可以对比多项式各项系数，也可以代入x的特殊取值，求出部分分式的分子中那些待定系数018上册199页(42)不定积分三角有理式的特殊情形可以推广到整数本题是m=-1，n=0的情形定积分的定义015上册220页B4(2)其中这是普通的定积分，c0最后再求极限逼近030上册219页A10033上册211页B1定积分变上限积分（参见习题课讲义134-136页）注：f连续，且被积函数不含参变量x，才能用以上公式。求导：换元，令u=x-t，再求导即可019上册219页A1(4)求导026上册211页A8定积分的性质005016上册220页B5,B66题见习题课讲义129页例16.85题方法与6类似036积分中值定理即可021上册211页B7025上册211页B6老师第六题可以用柯西中值定理吗?g(x)有时可能=0，不满足柯西中值定理的条件029上册211页A7042上册219页A4定积分的换元法020上册211页B2方法一方法二031上册230页A8037上册231页B7040上册229页A2(4)上面是用三角换元，和处理二次根式的方法一样。于是把分母都变成一个整体，而不是几项相加。本题也可以看成第四种部分分式，那样有点麻烦。043上册229页A2(3)045上册229页A2(11)解法一sinx+cosx的导数是cosx-sinx可以用a(cosx-sinx)+b(sinx+cosx)=sinx解a，b拆成两个分式解法二换元t=pai/2-x也可以定积分的分部积分法利用对称性求定积分038上册219页A3(3)017上册219页A3(5)046上册231页B4解法一丢个dx解法二被积函数是中心对称函数和轴对称函数乘积，且对称中心在对称轴上044上册231页B1解题思路如下023上册229页A2(5)解法一解题思路如下（含解法二）可以像第一个解法那样分两个区间，也可以像第二个解法，不分割区间换元时，x和t是对称点，f(x)=f(t)相当于把对称点处的两个被积函数值相加，x+=是常数可以提出去了剩下的积分就好求了解法三解法四解法五定积分的应用049上册251页A15向量代数047下册15页A3利用角分线定理本题也可以利用角分线定理+定比分点公式以下为其他类型习题014老师，有这个公式吗?