等比数列课件

NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引第3课时等比数列NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从起，每一项与它的的比等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母(q≠0)表示．(2)等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.第2项前一项同一个公比a1qn－1(3)等比中项如果三个数a、G、b组成，则G叫做a和b的等比中项，那么Ga＝bG，即G2＝.等比数列abqNO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引【思考探究】b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比的必要不充分条件，∵当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；反之，若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．(3)若m＋n＝p＋q，则，特别地，若m＋n＝2p，则.2．等比数列的性质已知等比数列{an}的前n项和为Sn.(1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}({bn}也是等比数列)，{an2}，1an等也是等比数列．am·an＝ap·aqam·an＝ap2NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引(4)a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是数列(此时{an}的公比q≠－1)．(6)当n是偶数时，S偶＝S奇·q；当n是奇数时，S奇＝a1＋S偶·q.等比NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引1．等比数列{an}中a5＝4，则a2·a8等于()A．4B．8C．16D．32解析：∵{an}是等比数列且2＋8＝2×5，∴a2·a8＝a52＝16.答案：CNO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引2．(2010·重庆卷)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8解析：∵a2010＝8a2007，∴q3＝a2010a2007＝8.∴q＝2.答案：ANO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引3．已知等比数列{an}中，a2＝12，a4＝14，则a10＝()A.116B.1162C.132D.164解析：易知a2，a4，a6，…，a10也成等比数列，则将a2作为数列的首项，q＝12，a10＝a2q5－1＝132.答案：CNO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引4．设等比数列{an}的公比q＝12，前n项和为Sn，则S4a4＝________.解析：a4＝a1123＝18a1，S4＝a11－1241－12＝158a1，∴S4a4＝15.答案：15NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引5．(2010·福建卷)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.解析：∵等比数列{an}的前3项之和为21，公比q＝4，不妨设首项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋4＋16)＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.答案：4n－1NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引等比数列的判定方法有：(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且an＋12＝an·an＋2(n∈N＋)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均为不为0的常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引【提醒】(1)前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋)．(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；(2)设cn＝an3n－1，求证：{cn}是等比数列．证明：an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.(1)bn＋1bn＝an＋2－2an＋1an＋1－2an＝4an＋1－4an－2an＋1an＋1－2an＝2an＋1－4anan＋1－2an＝2，NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引∴数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1.∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝5.∴b1＝a2－2a1＝3.(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，∴an＋12n－1－an2n－2＝3.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引∴数列an2n－2是等差数列，公差为3，首项为2.∴an2n－2＝2＋(n－1)×3＝3n－1.∴an＝(3n－1)·2n－2.∴cn＝2n－2.∴cn＋1cn＝2n－12n－2＝2.∴数列{cn}为等比数列，公比为2.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引【变式训练】1.数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1，n∈N＋.求证：数列{an＋1}从第二项起是等比数列，并求数列{an}的通项公式．证明：由Sn＋1＝2Sn＋n＋1①得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋1(n≥2)．②①－②得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－(n－1)．故an＋1＝2an＋1(n≥2)．又an＋1＋1＝2(an＋1)，所以an＋1＋1an＋1＝2(n≥2)．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引故数列{an＋1}从第二项起，是以a2＋1为首项，公比为2的等比数列．又S2＝2S1＋1＋1，a1＝1，所以a2＝3.故an＝4×2n－2－1＝2n－1(n≥2)又a1＝1满足an＝2n－1，所以an＝2n－1.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．【注意】在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引(2011·江苏苏州调研)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a＞0)．数列{bn}满足bn＝anan＋1(n∈N＋)．(1)若{an}是等差数列，且b3＝12，求a的值及{an}的通项公式；(2)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn；解析：(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＝a，∴an＝1＋(n－1)(a－1)．又∵b3＝12，∴a3a4＝12，即(2a－1)(3a－2)＝12，解得a＝2或a＝－56.∵a＞0，∴a＝2.∴an＝n.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引(2)∵数列{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a＞0)，∴an＝an－1.∴bn＝anan＋1＝a2n－1.∵bn＋1bn＝a2，∴数列{bn}是首项为a，公比为a2的等比数列．当a＝1时Sn＝n；当a≠1时，Sn＝aa2n－1a2－1＝a2n＋1－aa2－1.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引【变式训练】2.设等比数列{an}的公比q＜1，前n项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求数列{an}的通项公式．解析：由题设知a1≠0，Sn＝a11－qn1－q，则a1q2＝2，①a11－q41－q＝5×a11－q21－q.②由②式得1－q4＝5(1－q2)，即(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引因为q＜1，所以q＝－1或q＝－2.当q＝－1时，代入①式得a1＝2，所以通项公式an＝2×(－1)n－1；当q＝－2时，代入①式得a1＝12，所以通项公式an＝12×(－2)n－1.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引(2010·全国卷Ⅰ)(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．52B．7C．6D．42(2)(2010·安徽卷)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A．X＋Z＝2YB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZD．Y(Y－X)＝X(Z－X)NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列