第56题+不等式的恒成立、恰成立、能成立问题-2018精品之高中数学(理)黄金100题系列+Word

12第56题不等式的恒成立、恰成立、能成立问题I．题源探究·黄金母题【例1】当k取何值时，一元二次不等式23208kxkx对一切实数x都成立？【解析】由已知结合二次函数的图像可得20,34208kkk，解得30k．所以当30k时，一元二次不等式23208kxkx，对一切实数x都成立．精彩解读【试题来源】人教版A版必5P4例3．【母题评析】本题考查一元二次不等式恒成立参数取值范围问题．不等式恒成立问题，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】合理运用二次函数的图像及其性质解题．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考天津理8】已知函数23,1,()2,1.xxxfxxxx设aR，若关于x的不等式()||2xfxa在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．47[,2]16B．4739[,]1616C．[23,2]D．39[23,]16【答案】A【解析】不等式()2xfxa为()()2xfxafx(*)，当1x时，(*)式即为22332xxxaxx，2233322xxaxx，又22147473()241616xxx（14x时取等号），【命题意图】本题考查绝对值不等式的性质，属于创新题，有一定的难度．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题．【难点中心】1．解决此类问题的关键是运用函数图像及其性质（数形结合）解题．2．一般不等式恒成立求参12223339393()241616xxx（34x时取等号），47391616a，当1x时，(*)式为222xxaxxx，32222xxaxx，又3232()2322xxxx（当233x时取等号），222222xxxx（当2x时取等号），232a．综上47216a．故选A．【名师点睛】首先满足()2xfxa转化为()()22xxfxafx去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x的范围，利用极端原理，求出对应的a的范围．数1．可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2．也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3．也可转化为0Fx的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围．3．对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．III．理论基础·解题原理（1）200axbxca对一切xR恒成立20,40.abac（2）200axbxca对一切xR恒成立20,40.abacIV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏大．【技能方法】若不等式fxA在区间D上恒成立，则等价于在区间上minfxA；若不等式fxB在区间D上恒成立，则等价于在区间D上maxfxB．如果函数在区间D上不存在最值，那么也可以根据函数值域的端点值得出类似的等价关系．【易错指导】12在一元二次不等式的恒成立问题中要特别注意二次项的系数，当这个系数是不确定的字母时，要分其大于零、等于零和小于零的情况进行讨论．V．举一反三·触类旁通考向1不等式的恒成立问题、恰成立、能成立问题【例1】【2018贵州省遵义航天高级中学高一下学期期中考试】若不等式21120mxmx的解集是R，则m的范围是A．1,9B．1,9C．,19,D．,19,【答案】A详解：由题意得不等式21120mxmx在R上恒成立．①当1m时，不等式为20，不等式恒成立．符合题意．②当1m时，由不等式恒成立得210{1810mmm，解得19m．综上19m，所以实数m的范围是1,9，故选A．【名师点睛】不等式20axbxc＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a＝时，0,0bc＝；当0a时，0{0a不等式20axbxc＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a＝时，0,0bc＝；当0a时，0{0a．【例2】【2018四川宜宾市高一上学期期末考】当1,1a时，不等式24420xaxa恒成立，则x的取值范围为A．,13,B．,12,C．,23,D．1,3【答案】A【解析】令2244faxaxx，则不等式24420xaxa恒成立转化为0fa在1,1a上恒成立，则22102440{{102440fxxxfxxx，12整理得22560{320xxxx，解得1x或3x，所以实数x的取值范围是,13,，故选A．【例3】【2018甘肃天水一中高三上学期第二学段（期中）】对于任意实数x，不等式222240axa恒成立，则实数a的取值范围是（）A．,2B．,2C．2,2D．2,2【答案】C【名师点睛】不等式的恒成立，应和函数的图像联系起来．二次项系数含字母，应对二次项系数是否为0，分情况讨论．当二次项系数不为0时，结合二次函数图像考虑，根据题意图像应恒在x轴的下方，故抛物线开口向下且和x轴没交点，即判别式小于0．综合两种情况可得所求范围．【跟踪练习】1．【2018河北省武邑中学高二上学期期末考试】对任意的实数x，不等式210mxmx恒成立，则实数m的取值范围是（）A．4,0B．4,0C．4,0D．4,0【答案】B【解析】当m=0时，2110mxmx，不等式成立；设21ymxmx，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m0且△0得到：20{40mmm解得−4m0．综上得到−4m⩽0．故选B．2．【2018福建闽侯第六中学高二上学期期末考】已知不等式222xyaxy对任意1,2,4,5xy恒成立，则实数a的取值范围是（）12A．1,B．6,C．28,D．45,【答案】B【解析】由题意可知：不等式222xyaxy对任意1,2,4,5xy恒成立，即：22yyaxx（），对于任意1,2,4,5xy恒成立，令ytx，则2252tatt，在25，上恒成立，22ytt的对称轴为14t，且开口向下，22ytt在[25，单调递减，222266.maxya，故选B．3．【2018山东济南一中高一上学期期末考】若对于任意a[－1，1]，函数2442fxxaxa的值恒大于零，则x的取值范围是()A．(-∞‚1)∪(3，+∞)B．(?1C．(3,)D．‚1[3,【答案】A【名师点睛】不等式恒成立问题的一般思路是转化为函数的最值来处理，解此类型的一般思路是：（1）观察函数的变量是哪个，函数形式是二次，还是指数，还是对勾函数，函数结构较为复杂时可以利用求导，根据函数的单调性，求出函数最值即可；（2）对于一次函数恒大与0或恒小于0的问题，可以直接转化为两个端点值恒大于0或恒小于0即可．4．【2018广东省珠海高一上学期期末考】设函数222fxaxx，对于满足14x的一切x值都有0fx，则实数a的取值范围为（）A．1aB．112aC．12aD．12a【答案】D【解析】满足14x的一切x值，都有2220fxaxx恒成立，可知22211110,242xaaxx，满足14x的一切x值恒成立，1114x，122111120,422x，实数a的取值范围是1,2，实数a的取值范围为12a，故选D．【方法点晴】本题主要考查二次函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数afx恒成立(maxafx可)或afx恒成立（minafx即可）；②数形结合(yfx图象在ygx上方即可)；③讨论最值min0fx或max0fx恒成立；④讨论参数．本题就是利用方法①求得a的取值范围的．考向2恒成立与其他知识的交汇不等式恒成立问题可以与其它知识产生交汇，如数列、函数与导数、解析几何、常用逻辑用语等．【例4】【2018衡水金卷高三信息卷（四）】设p：3402xxx，q：22210xmxmm，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．2,1B．3,1C．2,00,1D．2,10,1【答案】D【例5】【2018江苏南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校高三联考】已知函数3221fxxaxax在1,1上单调递减，则a的取值范围是__________．【答案】,33,【解析】∵3221fxxaxax，∴2232fxxaxa．又函数fx在1,1上单调递减，∴22320fxxaxa在1,1上恒成立，12∴221320{1320faafaa，即22230{230aaaa，解得3a或3a．∴实数a的取值范围是,33,．【例6】【2018河南濮阳高二上学期期末考】已知命题20001:,02pxRaxx．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是__________．【答案】1,2【解析】由题意得命题p的否定为21:,02pxRaxx．∵命题p是假命题，∴命题p为真命题，即2102axx在R上恒成立．①当0a时，102x不恒成立；②当0a时，则有0{120aa，解得12a．综上可得实数a的取值范围是1,2．【名师点睛】不等式20axbxc＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a＝时，0,0bc＝；当0a时，0{0a；不等式20axbxc＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a＝时，0,0bc＝；当0a时，0{0a．【跟踪练习】1．【2018广东中山市高二上学期期末复习】命题“2230axax恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是()A．a0或a≥3B．a0或a≥3C．a0或a3D．0a3【答案】A122．【2018内蒙古包钢一高三上学期第一次月考】若不等式220xaxa对一切实数xR恒成立，则关于t的不等式2231tta的解集为A．3,1B．,31,C．D．0,1【答案】B【解析】220xaxa对一切实数xR恒成立，所以2440aa，所以0a1，所以函数y=ax是减函数，由2231tta可得2230tt，所以31tt或．故选B．3．【2018上海静安区第一学期高三教学质量检测】若不等式21xxa的解集是区间3,3的子集，则实数a的取值范围为________．【答案】,5【解析】由题意可得：不等式21xxa