导数与函数的单调性、极值复习课件

第11课时导数与函数的单调性、极值目录2014高考导航考纲展示备考指南1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点.2.选择题、填空题侧重于利用导数确定函数的单调性和极值．解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中、高档题.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1.函数的单调性与导数在区间(a，b)内,函数的单调性与其导数的正负有如下的关系:如果_________，那么函数y＝f(x)在这个区间单调递增；如果_________，那么函数y＝f(x)在这个区间单调递减；如果_________，那么函数y＝f(x)在这个区间为常数．f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＝0目录思考探究1．若函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0吗？f′(x)＞0是否是y＝f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)0是y＝f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件.目录2.函数极值的概念函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_________，右侧_________，则点a叫做函数y＝f(x)的_____________，f(a)叫函数y＝f(x)的___________．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧_________，右侧_________，则点b叫做函数y＝f(x)的_____________，f(b)叫函数y＝f(x)的__________．极大值点、极小值点统称为___________，极大值、极小值统称为_______．f′(x)＜0f′(x)＞0极小值点极小值f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极大值极值点极值目录思考探究2．若f′(x0)＝0，则x0一定是f(x)的极值点吗？提示：不一定．可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件．如函数f(x)＝x3，在x＝0时，有f′(x)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．目录课前热身1.下列函数存在极值的是()A．y＝1xB．y＝x2－3C．y＝x3＋x2＋2x－3D．y＝x3答案：B目录2.函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则实数a等于()A．2B．3C．4D．5答案：D目录3.(2012·高考辽宁卷)函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1，1]B．(0，1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选B.由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)．又由y′＝x－1x≤0，解得0＜x≤1，所以函数的单调递减区间为(0，1]．目录4.已知函数y＝f(x)的导数的图象如图，则随着x的增大，函数值先________后________．答案：减增5.已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a的取值范围是________．解析：∵f′(x)＝3x2－a，f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f′(x)≥0，∴a≤3x2，∴a≤3.又a＞0，可知0＜a≤3.答案：(0，3]目录考点探究讲练互动例1考点突破考点1函数的单调性与导数(2012·高考天津卷节选)已知函数f(x)＝13x3＋1－a2x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点，求a的取值范围．目录【解】(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．x(－∞，－1)(－1，a)(a，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)↗↘↗目录(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点当且仅当f（－2）＜0，f（－1）＞0，f（0）＜0，解得0＜a＜13.所以a的取值范围是0，13.目录【规律小结】利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.目录跟踪训练1.已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当t≠0时，求f(x)的单调区间．解：(1)当t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6.所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.目录(2)f′(x)＝12x2＋6tx－6t2.令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝t2.因为t≠0，所以分两种情况讨论：①若t0，则t2－t.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，t2t2，－t(－t，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)↗↘↗所以f(x)的单调递增区间是－∞，t2，(－t，＋∞)；f(x)的单调递减区间是t2，－t.目录②若t0，则－tt2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－t)－t，t2t2，＋∞f′(x)＋－＋f(x)↗↘↗所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－t)，t2，＋∞；f(x)的单调递减区间是－t，t2.目录例2考点2由函数的单调性求参数的取值范围已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．【解】(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0.∵ex＞0，∴－x2＋2＞0，解得－2＜x＜2.∴函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)．目录(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立．∵ex0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故函数f(x)不可能在R上单调递减．若函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈R都成立，∵ex0，∴x2－(a－2)x－a≤0对x∈R都成立．而Δ＝(a－2)2＋4a＝a2＋40，故函数f(x)不可能在R上单调递增．综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数．目录【规律小结】由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减)，等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围．目录跟踪训练2.已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2，3)上为减函数？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．解：f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a＞0，因此f(x)在R上递增．若a0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.因此f(x)的递增区间是[lna，＋∞)．目录(2)由f′(x)＝ex－a≤0在(－2，3)上恒成立．∴a≥ex在x∈(－2，3)上恒成立．又∵－2x3，∴e－2exe3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝ex－e3在x∈(－2，3)上，f′(x)0，即f(x)在(－2，3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2，3)上单调递减．目录例3考点3函数的极值与导数(2012·高考江苏卷节选)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．目录【解】(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知，f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.目录【规律小结】求可导函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(4)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左、右两侧的符号，如果在根的左侧附近f′(x)＞0，右侧附近f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近f′(x)＜0，右侧附近f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．目录跟踪训练3.(2012·高考重庆卷)设f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)因为f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，故f′(x)＝ax－12x2＋32.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－12＋32＝0，解得a＝－1.目录(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋12x＋32x＋1(x＞0)，f′(x)＝－1x－12x2＋32＝3x2－2x－12x2＝（3x＋1）（x－1）2x2.令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－13(因为x2＝－13不在定义域内，舍去)．当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时,f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.目录方法感悟1.“f′(x)＞0(或f′(x)＜0)”是“函数f(x)在某一区间上为增函数(或减函数)”的充分不必要条件；“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件．2.可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．3.可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点，如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．目录名师讲坛精彩呈现例规范解答导数法求函数的单调区间(本题满分12分)(2012·高考山东卷)已知函数f(x)＝lnx＋kex(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝xf′(x)，其