高中数学必修四第一章测试

1第一章基本初等函数(Ⅱ)的测试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2016·陕西延川县期中)半径为πcm，中心角为120°的弧长为()A.π3cmB.π23cmC.2π3cmD.2π23cm2．(2016·桂林全州学段考)如果sin(π＋A)＝－12，那么cos3π2－A等于()A．－12B.12C.32D．－323．若点P(sin2，cos2)是角α终边上一点，则角α的终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．右图是函数f(x)＝Asinωx(A0，ω0)一个周期的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)的值等于()A.2B.22C．2＋2D．225．给出下列各函数值：①sin100°；②cos(－100°)；③tan(－100°)；④sin7π10cosπtan17π9.其中符号为负的是()A．①B．②C．③D．④6．把函数y＝sinx＋π6图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为()A．x＝－π2B．x＝－π4C．x＝π8D．x＝π47．(2016·山西大同一中测试)若0α2π，且sinα32，cosα12，利用三角函数线得到角α的取值范围是()A.－π3，π3B.0，π3C.5π3，2πD.0，π3∪5π3，2π8．化简2sinαcosα－cosα1＋sin2α－sinα－cos2α等于()A．tanαB.1tanαC．－tanαD．－1tanα9．设a＝sin5π7，b＝cos2π7，c＝tan2π7，则()2A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．b＜a＜c10．(2016·上海高考)设a∈R，b∈[0,2π]．若对任意实数x，都有sin3x－π3＝sin(ax＋b)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为()A．1B．2C．3D．411．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m(A＞0，ω＞0)的最大值是4，最小值是0，该函数的图象与直线y＝2的两个相邻交点之间的距离为π4，对任意的x∈R，满足f(x)≤Asinπ12ω＋φ＋m，且f(π)＜fπ4，则下列符合条件的函数的解析式是()A．f(x)＝2sin4x＋π6＋2B．f(x)＝2sin2x＋7π6＋2C．f(x)＝2sin4x＋π3＋2D．f(x)＝2sin4x＋7π6＋212．(2016·山西榆社中学期中)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A0，ω0)的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f(x)的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数；③f(0)＝1；④f12π11f14π13；⑤f(x)＝－f5π3－x.其中正确的是()A．①②③B．②③④C．①④⑤D．②③⑤二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．sin(－120°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＝__________.14．(2016·河南灵宝高级中学期中)已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________．15．(2016·河南洛阳八中月考)函数y＝f(cosx)的定义域为2kπ－π6，2kπ＋2π3(k∈Z)，则函数y＝f(x)的定义域为________．316．已知函数f(x)＝sinx＋cosx＋|sinx－cosx|2，则下列结论正确的是________．①f(x)是奇函数；②f(x)的值域是－22，1；③f(x)是周期函数；④f(x)在0，π2上递增．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)化简1＋2sin3π－αcosα－3πsinα－3π2－1－sin25π2＋α，其中角α的终边在第二象限．18．(12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示(ω0)，试求它的表达式．19．(12分)(2016·山西大同一中期中)已知α是一个三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(1)求tanα的值；(2)用tanα表示1sin2α－cos2α并求其值．20．(12分)(2016·银川九中期中)已知函数f(x)＝3sinx2＋π6＋3.(1)用五点法画出这个函数在一个周期内的图象；(必须列表)(2)求它的振幅、周期、初相、对称轴方程；(3)说明此函数图象可由y＝sinx在[0,2π]上的图象经怎样的变换得到．21．(12分)设函数f(x)＝sin2ωx＋π3＋32＋a(其中ω0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为7π6.(1)求ω的值；4(2)如果f(x)在区间－π3，5π6上的最小值为3，求a的值．22．(12分)已知函数f(x)＝logacos2x－π3(其中a0，且a≠1)．(1)求它的定义域；(2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．详解答案1．D120°＝2π3，∴弧长为2π23，故选D.2．Asin(π＋A)＝－12，∴sinA＝12，cos3π2－A＝－sinA＝－12，故选A.3．D∵2弧度是第二象限角∴sin2＞0，cos2＜0.∴点P在第四象限，∴角α的终边在第四象限，故选D.4．A易知A＝2，由2πω＝8，得ω＝π4，∴f(x)＝2sinπx4，又由对称性知，原式＝f(1)＝2sinπ4＝2，故选A.5．B①sin100°0；②cos(－100°)＝cos100°0；③tan(－100°)＝－tan100°0；④∵sin7π100，cosπ＝－1，tan17π90，∴sin7π10cosπtan17π90.其中符号为负的是②，故选B.6．A依题意得，经过图象变换后得到的图象相应的解析式是y＝sin2x－π3＋π6＝sin2x－π2＝－cos2x，注意到当x＝－π2时，y＝－cos(－π)＝1，此时y＝－cos2x取得最大值，因此直线x＝－π2是该图象的一条对称轴，故选A.7．D如图示，满足sinα32的角α为0，π3∪2π3，2π，满足cosα12的角α为0，π3∪5π3，2π，所以符5合条件的角α为0，π3∪5π3，2π，故选D.8．B原式＝cosα2sinα－11－cos2α＋sin2α－sinα＝cosα2sinα－12sin2α－sinα＝cosα2sinα－1sinα2sinα－1＝1tanα.故选B.9．Da＝sin5π7＝sin2π7＜tan2π7＝c.cos2π7＝sinπ2－2π7＝sin3π14，∵3π14＜2π7，∴sin3π14＜sin2π7.故b＜a＜c.10．Bsin3x－π3＝sin3x－π3＋2π＝sin3x＋5π3，(a，b)＝3，5π3，又sin3x－π3＝sinπ－3x－π3＝sin－3x＋4π3，(a，b)＝－3，4π3，因为b∈[0,2π]，所以只有这两组．故选B.11．D由题意得A＋m＝4，－A＋m＝0，解得A＝2，m＝2.由题可知周期T＝π2，由T＝2πω＝π2得ω＝4，于是函数f(x)＝2sin(4x＋φ)＋2.又由题可知x＝π12是函数的对称轴，故4×π12＋φ＝kπ＋π2，则φ＝kπ＋π6(k∈Z)，又因为f(π)＜fπ4，验证选项A、D，可得选项D正确．12．C由图象可知，A＝2，T＝7π12－π3×4＝π，∴ω＝2，当x＝7π12时，2×7π12＋φ＝3π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝2sin2x＋π3故①正确；f(0)＝2sinπ3＝3，故③不正确，故选C.13.1解析：原式＝－sin120°cos210°＋cos60°sin30°＝－32×－32＋12×12＝1.14.－32，3解析：由题可知，f(x)与g(x)的周期相同，∴T＝2π2＝π，∴ω＝2，则f(x)＝3sin2x－π6，当0≤x≤π2时，－π6≤2x－π6≤5π6，∴－32≤f(x)≤3.615.－12，1解析：∵2kπ－π6≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.∴－12≤cosx≤1.∴f(x)的定义域为－12，1.16．②③解析：f(x)＝2sinx，sinx≥cosx，2cosx，sinxcosx，∴f(x)的图象如图所示．依据图象可知②③正确．17．解：原式＝1＋2sin[2π＋π－α]cos[α－π－2π]－sin3π2－α－1－sin22π＋π2＋α＝1＋2sinπ－αcosα－πcosα－1－cos2α＝cosα－sinα2cosα－|sinα|.∵α是第二象限角，∴sinα0，cosα－sinα0.于是，原式＝sinα－cosαcosα－sinα＝－1.18．解：∵T2＝5π6－π3＝π2，ω0，∴T＝π，ω＝2πT＝2.∵图象过点π3，0，∴fπ3＝Asin2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，令k＝0，得φ＝π3.又图象过点0，32，由Asin2×0＋π3＝32得，A＝3.∴所求表达式为y＝3sin2x＋π3.19．解：(1)已知α是一个三角形的内角，∴0απ，sinα0.由sinα＋cosα＝15，得1＋2sinαcosα＝125，∴2sinαcosα＝－2425，∴cosα0，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝4925，∴sinα－cosα＝75.∴sinα＝45，cosα＝－35，∴tanα＝－43.7(2)1sin2α－cos2α＝sin2α＋cos2αsin2α－cos2α＝tan2α＋1tan2α－1＝－432＋1－432－1＝257.∴1sin2α－cos2α＝257.20．解：(1)列表x－π32π35π38π311π3x2＋π60π2π3π22πy36303(2)周期T＝4π，振幅A＝3，初相φ＝π6，由x2＋π6＝kπ＋π2，得x＝2kπ＋2π3(k∈Z)即为对称轴方程；(3)①由y＝sinx的图象上各点向左平移φ＝π6个长度单位，得y＝sinx＋π6的图象；②由y＝sinx＋π6的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sinx2＋π6的图象；③由y＝sinx2＋π6的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得y＝3sinx2＋π6的图象；④由y＝3sinx2＋π6的图象上各点向上平移3个长度单位，得y＝3sinx2＋π6＋3的图象．21．解：(1)依题意知，2×7π6ω＋π3＝3π2⇒ω＝12.(2)由(1)知f(x)＝sinx＋π3＋32＋a，又当x∈－π3，5π6时，x＋π3∈0，7π6，故－12≤sinx＋π3≤1，从而f(x)在－π3，5π6上取最小值－12＋32＋a.因此－12＋32＋a＝3，解得a＝3＋12.822．解：(1)由题意知cos2x－π30，∴2kπ－π22x－π32kπ＋π2(k∈Z)．即kπ－π12xkπ＋5π12(k∈Z)．故定义域为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．(2)由2kπ≤2x－π3≤(2k＋1)π(k∈Z)，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π