-平面向量的数量积与平面向量应用举例

菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考纲要求：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[基础真题体验]考查角度[平面向量的数量积运算]1．(2014·重庆高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－92B．0C．3D.152菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)．因为(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.故选C.【答案】C菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练2．(2013·福建高考)在四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.5B．25C．5D．10【解析】∵AC→·BD→＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴AC→⊥BD→，∴S四边形ABCD＝12|AC→|·|BD→|＝12×5×25＝5.【答案】C菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练3．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.【解析】|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°.∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×12＋(1－t)×1＝t2＋1－t＝1－t2.∵b·c＝0，∴1－t2＝0，∴t＝2.【答案】2菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练4．(2012·课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.【解析】∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|cos45°＝22|b|，|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.【答案】32菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[命题规律预测]命题规律从近几年高考试题看，向量的数量积运算、向量的模、夹角及向量的垂直是考查的热点，多以选择题、填空题形式呈现，难度中低档．解答题以向量的数量积为载体，常与几何问题、三角函数知识交汇命题，考查运算能力与数形结合思想．考向预测预计2016年高考仍会以平面向量的数量积运算、向量垂直的条件与向量数量积的性质为命题热点，将会综合三角函数，解析几何等知识命题，复习时应予以关注.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向一平面向量数量积的运算[典例剖析]【例1】(1)(2013·江西高考)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→·BD→＝________.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【思路点拨】(1)用a在b上的投影公式解答．(2)可以用基向量法，也可以用坐标法解答．【解析】(1)由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e21＋6e1·e2＝2＋6×12＝5，所以a在b方向上的投影为|a|·cos?a，b?＝a·b|b|＝52.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，∴AE→＝(1,2)，BD→＝(－2,2)，∴AE→·BD→＝1×(－2)＋2×2＝2.【答案】(1)52(2)2菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练向量数量积的两种计算方法：(1)当已知向量的模和夹角为θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosθ.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[对点练习](1)(2014·重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________.(2)(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】(1)∵a＝(－2，－6)，∴|a|＝－22＋－62＝210，∴a·b＝210×10cos60°＝10.(2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．又E在AB边上，故设E(t,0)(0≤t≤1)．则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练故DE→·CB→＝1.又DC→＝(1,0)，∴DE→·DC→＝(t，－1)·(1,0)＝t.又0≤t≤1，∴DE→·DC→的最大值为1.【答案】(1)10(2)11菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向二平面向量的夹角和模[典例剖析]【例2】(1)(2014·江西高考)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝13，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.(2)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，则|a＋b|＝________.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【思路点拨】(1)利用夹角公式求解．(2)由已知先求出a·b的值，再用求模公式解答．【解析】(1)∵|a|＝3e1－2e22＝9＋4－12×1×1×13＝3，|b|＝3e1－e22＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e21－9e1·e2＋2e22＝9－9×1×1×13＋2＝8，∴cosβ＝83×22＝223.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)由(2a－3b)·(2a＋b)＝4|a|2－4a·b－3|b|2＝61，及|a|＝4，|b|＝3得a·b＝－6，∴|a＋b|＝a＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×－6＋32＝13.【答案】(1)223(2)13菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练1．求两非零向量的夹角时要注意(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|2＝a·a.(2)|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2.(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[对点练习](1)(2014·山东高考)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m＝()A．23B.3C．0D．－3(2)(2014·威海模拟)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.5B.10C．25D．10菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】(1)∵a·b＝(1，3)·(3，m)＝3＋3m，又a·b＝12＋32×32＋m2×cosπ6，∴3＋3m＝12＋32×32＋m2×cosπ6，∴m＝3.(2)∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2.由b∥c得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2.∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)．∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝32＋－12＝10.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【答案】(1)B(2)B菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向三数量积的综合应用【命题视角】向量的共线与垂直和向量数量积之间的关系以其独特的表现形式成为高考命题的亮点，它常与三角函数、平面几何、解析几何知识相结合命题，题型全面，难度中档或以上．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练角度一：向量的数量积在三角函数中的应用【例3－1】(2014·陕西高考)设0θπ2，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.【思路点拨】先运用数量积运算进行转化，然后用三角知识解答．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.因为0＜θ＜π2，所以cosθ＞0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝12.【答案】12菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练向量的数量积在三角函数中的应用利用数量积的坐标运算，把向量问题转化为三角问题，进而求值或求角菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练角度二：向量的数量积在平面几何中的应用【例3－2】在△ABC中，已知向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【思路点拨】AB→|AB→|是单位向量，结合平行四边形法则及AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0分析AB与AC的关系，借助数量积的定义求∠CBA，进而得出△ABC的形状．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时