2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第6章 数列 第2讲等差数列及其前n项和

基础诊断考点突破课堂总结最新考纲1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．第2讲等差数列及其前n项和基础诊断考点突破课堂总结1．等差数列的定义如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的差等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_______，公差通常用字母d表示．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．知识梳理2同一个常数公差基础诊断考点突破课堂总结2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝____________.通项公式的推广：an＝am＋__________(m，n∈N*)．(2)等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋an2＝______________(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)．a1＋(n－1)d(n－m)dna1＋nn－12d基础诊断考点突破课堂总结(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝nd2；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．3．等差数列及前n项和的性质(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝__________.(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为_______的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.a＋b2md基础诊断考点突破课堂总结4．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．5．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最______值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最______值．大小基础诊断考点突破课堂总结(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(4)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．()诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示×√√×基础诊断考点突破课堂总结2．(2014·重庆卷)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A．5B．8C．10D．14答案B解析法一设等差数列{an}的公差为d，则a1＝2，2a1＋6d＝10，解之得d＝1，故a7＝a1＋6d＝2＋6×1＝8.法二由等差数列的性质知a1＋a7＝a3＋a5，∴a7＝(a3＋a5)－a1＝10－2＝8.基础诊断考点突破课堂总结3．(2014·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()答案AA．n(n＋1)B．n(n－1)C．nn＋12D．nn－12解析∵a2，a4，a8成等比数列，∴a24＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，将d＝2代入上式，解得a1＝2，∴Sn＝2n＋nn－1×22＝n(n＋1)，故选A．基础诊断考点突破课堂总结4．(2014·江西卷)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________.解析由题意知d＜0且a8＞0，a9＜0，即7＋7d＞0，7＋8d＜0，解得－1＜d＜－78.答案－1，－78基础诊断考点突破课堂总结5．(人教A必修5P68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.解析由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.答案180基础诊断考点突破课堂总结考点一等差数列的性质及基本量的求解【例1】(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6B．－4C．－2D．2基础诊断考点突破课堂总结解析法一(常规解法)：设公差为d，则8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.答案A基础诊断考点突破课堂总结(2)(2014·浙江卷)已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.①求d及Sn；②求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.基础诊断考点突破课堂总结解①由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.因为d＞0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．②由①得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1＞1，故2m＋k－1＝13，k＋1＝5，所以m＝5，k＝4.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0B．37C．100D．－37(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A．13B．12C．11D．10(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，∴{an＋bn}为等差数列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，∴{an＋bn}为常数列，∴a37＋b37＝100.基础诊断考点突破课堂总结(2)因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，所以Sn＝na1＋an2＝n·602＝390，即n＝13.(3)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.答案(1)C(2)A(3)60基础诊断考点突破课堂总结考点二等差数列的判定与证明【例2】(2014·梅州调研改编)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以1Sn－1Sn－1＝2，又1S1＝1a1＝2，故1Sn是首项为2，公差为2的等差数列．基础诊断考点突破课堂总结(2)解由(1)可得1Sn＝2n，∴Sn＝12n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－12n－1＝n－1－n2nn－1＝－12nn－1.当n＝1时，a1＝12不适合上式．故an＝12，n＝1，－12nn－1，n≥2.基础诊断考点突破课堂总结规律方法证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an＋1＝an＋an＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法.基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(2015·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝Snn＋c，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解(1)设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是关于x的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通项为an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.基础诊断考点突破课堂总结(2)由(1)知Sn＝n1＋4n－32＝2n2－n，所以bn＝Snn＋c＝2n2－nn＋c.法一所以b1＝11＋c，b2＝62＋c，b3＝153＋c(c≠0)．令2b2＝b1＋b3，解得c＝－12.当c＝－12时，bn＝2n2－nn－12＝2n，当n≥2时，bn－bn－1＝2.故当c＝－12时，数列{bn}为等差数列．基础诊断考点突破课堂总结法二由bn＝Snn＋c＝n1＋4n－32n＋c＝2nn－12n＋c，∵c≠0，∴可令c＝－12，得到bn＝2n.∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{bn}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c＝－12，使数列{bn}也为等差数列．基础诊断考点突破课堂总结考点三等差数列前n项和的最值问题【例3】等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？解法一由题意知d＜0，因为Sn＝d2n2＋a1－d2n，则可设f(x)＝d2x2＋a1－d2x，深度思考解决此类问题你首先想到的是哪种方法？在这里提醒大家：本题可用四种方法，请大家先思考．基础诊断考点突破课堂总结如图：由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x＝5＋122＝172，由图可知，当1≤n≤8时，Sn单调递增；当n≥9时，Sn单调递减．又n∈N*，所以当n＝8或9时，Sn最大．基础诊断考点突破课堂总结法二设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S12得5a1＋10d＝12a1＋66d，d＝－18a1＜0.所以Sn＝na1＋nn－12d＝na1＋nn－12·(－18a1)＝－116a1(n2－17n)＝－116a1n－1722＋28964a1，因为a1＞0，n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．基础诊断考点突破课堂总结法三设等差数列{an}的公差为d，由法二得d＝－18a1＜0.设此数列的前n项和最大，则an≥0，an＋1≤0，即an＝a1＋n－1·－18a1≥0，an＋1＝a1＋n·－18a1≤0，解得n≤9，n≥8，即8≤n≤9，又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．基础诊断考点突破课堂总结法四同法二得d＝－18a1＜0，又S5＝S12得a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝0，∴7a9＝0，∴a9＝0，∴当n＝8或9时，Sn有最大值，规律方法求等差数列前n项