2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第6章 数列 第3讲等比数列及其前n项和

基础诊断考点突破课堂总结最新考纲1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系．第3讲等比数列及其前n项和基础诊断考点突破课堂总结数学语言表达式：anan－1＝_______(n≥2，q为非零常数)，或an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．1．等比数列的定义如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的比等于_______非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，公比通常用字母q(q≠0)表示．知识梳理2同一个公比q基础诊断考点突破课堂总结2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝__________；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝__________＝a1－anq1－q.a1qn－1a11－qn1－q基础诊断考点突破课堂总结3．等比数列及前n项和的性质(1)如果__________成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔__________.(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝__________.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为_______.(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为_______.a，G，bG2＝abam·anqmqn基础诊断考点突破课堂总结诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.()(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．()××××基础诊断考点突破课堂总结2．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于()A．7B．5C．－5D．－7解析法一由题意得a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，a5a6＝a1q4×a1q5＝a21q9＝－8，∴q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.基础诊断考点突破课堂总结法二由a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8，解得a4＝－2，a7＝4或a4＝4，a7＝－2.∴q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.答案D基础诊断考点突破课堂总结3．(2014·大纲全国卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31B．32C．63D．64解析由等比数列的性质得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C．答案C基础诊断考点突破课堂总结4．(2014·广东卷)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.答案5解析由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝a23＝4⇒a3＝2，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log2a53＝5log22＝5.基础诊断考点突破课堂总结5．(人教A必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.解析设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.答案27,81基础诊断考点突破课堂总结考点一等比数列中基本量的求解【例1】(1)在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝16，则an＝________.(2)在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，则n＝________.(3)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A．152B．314C．334D．172基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由a7a4＝q3＝8，知q＝2，所以an＝a4qn－4＝2·2n－4＝2n－3.(2)因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12，由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32，所以an＝a1qn－1＝1，解得n＝6.基础诊断考点突破课堂总结(3)显然公比q≠1，由题意得a1q·a1q3＝1，a11－q31－q＝7，解得a1＝4，q＝12或a1＝9，q＝－13(舍去)，∴S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.答案(1)2n－3(2)6(3)B基础诊断考点突破课堂总结规律方法等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．基础诊断考点突破课堂总结【训练1】在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．解设该数列的公比为q，由已知可得a1q－a1＝2,4a1q＝3a1＋a1q2，所以a1(q－1)＝2，q2－4q＋3＝0，解得q＝3或q＝1.由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去．故公比q＝3，首项a1＝1.所以数列的前n项和Sn＝3n－12.基础诊断考点突破课堂总结考点二等比数列的性质及应用【例2】(1)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()A．4B．5C．6D．7(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝()A．2B．73C．83D．3基础诊断考点突破课堂总结解析(1)法一由等比中项的性质得a3a11＝a27＝16，又数列{an}各项为正，所以a7＝4.所以a10＝a7×q3＝32.所以log2a10＝5.法二设等比数列的公比为q，由题意知，an＞0，则a3·a11＝a27＝a10q32＝126a210＝24，所以a210＝210，解得a10＝25.故log2a10＝5.基础诊断考点突破课堂总结(2)由等比数列的性质得：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是，由已知得S6＝3S3，∴S6－S3S3＝S9－S6S6－S3，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴S9S6＝73.答案(1)B(2)B基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为()A．－3B．±3C．－33D．±33(2)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于()A．52B．7C．6D．42基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由等比中项知y2＝3，∴y＝±3，又∵y与－1，－3符号相同，∴y＝－3，y2＝xz，所以xyz＝y3＝－33.(2)把a1a2a3，a2a3a4，…，a7a8a9各看成一个整体，由题意知它们分别是一个等比数列的第1项、第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项．因为数列{an}的各项均为正数，所以a4a5a6＝a1a2a3·a7a8a9＝5×10＝52.答案(1)C(2)A基础诊断考点突破课堂总结考点三等比数列的判定与证明【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．(1)证明∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，深度思考若本题除去第(1)问后如何求bn？在这里给大家介绍一种方法：构造法，如本例中构造等比数列{an－1}．基础诊断考点突破课堂总结∴an＋1－1an－1＝12，∴{an－1}是等比数列．又a1＋a1＝1，∴a1＝12，∵首项c1＝a1－1，∴c1＝－12，公比q＝12.又cn＝an－1，∴{cn}是以－12为首项，以12为公比的等比数列．基础诊断考点突破课堂总结(2)解由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，∴an＝cn＋1＝1－12n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n.又b1＝a1＝12代入上式也符合，∴bn＝12n.基础诊断考点突破课堂总结规律方法证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明anan－1＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a2n＝an－1·an＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．基础诊断考点突破课堂总结【训练3】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．基础诊断考点突破课堂总结(1)解设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2，由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.基础诊断考点突破课堂总结(2)证明数列{bn}的前n项和Sn＝541－2n1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2.所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.因此{Sn＋54}是以52为首项，2为公比的等比数列．基础诊断考点突破课堂总结[思想方法]1．已知等比数列{an}(1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，{1an}也是等比数列．(2)a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.基础诊断考点突破课堂总结2．判断数列为等比数列的方法(1)定义法：an＋1an＝q(q是不等于0的常数，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列；也可用anan－1＝q(q是不等于0的常数，n∈N*，n≥2)⇔数列{an}是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同．(2)等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．基础诊断考点突破课堂总结[易错防范]1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一