【新步步高】2018版高考数学(理)一轮复习第六章6.1数列的概念与简单表示法

§6.1数列的概念与简单表示法基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.数列的定义知识梳理按照排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的.一定顺序项2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数_____无穷数列项数______有限无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1___an其中n∈N*递减数列an＋1___an常数列an＋1＝an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是、和.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.列表法图象法解析法序号n1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.知识拓展2.在数列{an}中，若an最大，则an≥an－1，an≥an＋1.若an最小，则an≤an－1，an≤an＋1.3.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)思考辨析(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列.()(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()√××√×1.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示).考点自测答案解析则第7个三角形数是A.27B.28C.29D.30由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.2.已知数列11×2，12×3，13×4，…，1nn＋1，…，下列各数中是此数列中的项的是A.135B.142C.148D.154答案3.(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋－1nan－1(n≥2)，则a5等于A.32B.53C.85D.23答案解析a2＝1＋－12a1＝2，a3＝1＋－13a2＝12，a4＝1＋－14a3＝3，a5＝1＋－15a4＝23.4.数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是________.答案解析30an＝－n2＋11n＝－(n－112)2＋1214，∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.2，n＝1，2n－1，n≥25.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝_____________.答案解析故an＝2，n＝1，2n－1，n≥2.当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，题型分类深度剖析题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1(1)(2016·太原模拟)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是A.an＝n2－(n－1)B.an＝n2－1C.an＝nn＋12D.an＝nn－12答案解析(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝________.答案解析2n＋1n2＋1数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an＝2n＋1n2＋1.思维升华由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理.跟踪训练1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)－1,7，－13,19，…；解答数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).(2)0.8,0.88,0.888，…；数列变为891－110，891－1102，891－1103，…，故an＝891－110n.解答(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，….解答各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故an＝(－1)n2n－32n.题型二由an与Sn的关系求通项公式例2(1)(2017·南昌月考)若数列{an}的前n项和Sn＝，则{an}的通项公式an＝________.(－2)n－1答案解析由Sn＝23an＋13，得当n≥2时，Sn－1＝23an－1＋13，又当n＝1时，S1＝a1＝23a1＋13，两式相减，整理得an＝－2an－1，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.23an＋13(2)已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式.①Sn＝2n2－3n；解答a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.②Sn＝3n＋b.解答a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式.∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.思维升华已知Sn，求an的步骤(1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.an＝2，n＝1，6n－5，n≥2跟踪训练2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项、公式为________________.答案解析当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式.故数列的通项公式为an＝2，n＝1，6n－5，n≥2.A.2n－1B.(32)n－1C.(32)nD.12n－1(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于答案解析由an＋1＝Sn＋1－Sn，得12Sn＝Sn＋1－Sn，即Sn＋1＝32Sn(n≥1)，又S1＝a1＝1，所以数列{Sn}是首项为1，公比为32的等比数列，所以Sn＝(32)n－1，故选B.题型三由数列的递推关系求通项公式例3根据下列条件，确定数列{an}的通项公式.(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)；1n解答(2)a1＝1，an＋1＝2nan；解答∵an＋1＝2nan，∴anan－1＝2n－1(n≥2)，∴an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝.又a1＝1适合上式，故an＝.(1)22nn(1)22nn(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.解答∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2·3n－1，故an＝2·3n－1－1.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；(3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；(4)当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解.跟踪训练3(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝·an－1(n≥2且n∈N*)，则an＝____.答案解析1n∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.当n＝1时也满足此等式，∴an＝1n.n－1n(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于A.－16B.16C.31D.32答案解析当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.∴{an}是等比数列且a1＝1，q＝2，故a5＝a1×q4＝24＝16.题型四数列的性质例4已知an＝n－1n＋1，那么数列{an}是A.递减数列B.递增数列C.常数列D.摆动数列命题点1数列的单调性答案解析an＝1－2n＋1，将an看作关于n的函数，n∈N*，易知{an}是递增数列.例5数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝_____.11－an答案解析命题点2数列的周期性12∵an＋1＝11－an，∴an＋1＝11－an＝11－11－an－1＝1－an－11－an－1－1＝1－an－1－an－1＝1－1an－1＝1－111－an－2＝1－(1－an－2)＝an－2，n≥3，∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝11－a1，∴a1＝12.例6数列{an}的通项an＝nn2＋90，则数列{an}中的最大项是A.310B.19C.119D.1060命题点3数列的最值答案解析(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断.③结合相应函数的图象直观判断.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.思维升华an＋1an跟踪训练4(1)(2016·哈尔滨模拟)数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an≤12，2an－1，12＜an＜1，a1＝35，则数列的第2015项为________.25答案解析(2)设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是A.163B.133C.4D.0答案解析∵an＝－3n－522＋34，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0.典例(1)数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·()n，则此数列的最大项是第________项.(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1an成立，则实数k的取值范围是__________.解决数列问题的函数思想思想与方法系列12(1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析.9或10答案解析1011思想方法指导(－3，＋∞)课时作业1.数列23，－45，67，－89，…的第10项是A.－1617B.－1819C.－2021D.－2223√12345678910111213答案解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式an＝(－1)n＋1·，故a10＝－.2n2n＋12021123456789101112132.已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则A.3不是数列{an}中的项B.