【新步步高】2018版高考数学(理)一轮复习第六章6.3等比数列及其前n项和

§6.3等比数列及其前n项和基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习一般地，如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示(q≠0).1.等比数列的定义知识梳理2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数公比qa1·qn－1如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列.3.等比中项4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·(n，m∈N*).(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.等比中项qn－mak·al＝am·an公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为.等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.5.等比数列的前n项和公式6.等比数列前n项和的性质qn等比数列{an}的单调性(1)满足a10，q1或a10，0q1时，{an}是递增数列.(2)满足a10，0q1或a10，q1时，{an}是递减数列.(3)当a1≠0，q＝1时，{an}为常数列.(4)当q0时，{an}为摆动数列.知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.()(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列.()思考辨析××××1.(教材改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于A.－12B.－2C.2D.12考点自测答案解析14由题意知q3＝a5a2＝18，∴q＝12.2.(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于A.21B.42C.63D.84答案解析设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于A.31B.32C.63D.64答案解析根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.4.(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.答案解析27,81设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.5.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝________.答案解析－11设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴S5S2＝a11－q51－q·1－qa11－q2＝1－q51－q2＝1－－251－4＝－11.题型分类深度剖析题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于14答案解析A.2B.1C.12D.18由{an}为等比数列，得a3a5＝，a24又a3a5＝4(a4－1)，所以＝4(a4－1)，a24解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，14所以a2＝a1q＝.故选C.12(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，则Snan＝________.答案解析2n－1思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.跟踪训练1(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于A.152B.314C.334D.172答案解析显然公比q≠1，由题意得a1q·a1q3＝1，a11－q31－q＝7，解得a1＝4，q＝12或a1＝9q＝－13(舍去)，∴S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝______.答案解析3n－1由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，所以公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.题型二等比数列的判定与证明例2设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；证明(2)求数列{an}的通项公式.解答∴an＋12n＋1－an2n＝34，由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，故{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列.∴an2n＝12＋(n－1)·34＝3n－14，故an＝(3n－1)·2n－2.引申探究若将本例中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式.解答由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，(*)又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，即a2＋1＝2(a1＋1)，∴当n＝1时(*)式也成立，故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证.12证明跟踪训练2已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明：{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋12＝3(an＋12).又a1＋12＝32，所以{an＋12}是首项为32，公比为3的等比数列.所以an＋12＝3n2，因此{an}的通项公式为an＝3n－12.(2)证明：1a1＋1a2＋…＋1an32.证明由(1)知1an＝23n－1.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以13n－1≤12×3n－1.于是1a1＋1a2＋…＋1an≤1＋13＋…＋13n－1＝32(1－13n)32，所以1a1＋1a2＋…＋1an32.题型三等比数列性质的应用例3(1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝_____.答案解析50因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝12，则S9S3＝________.答案解析34思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.答案解析跟踪训练3(1)已知在等比数列{an}中，a1a4＝10，则数列{lgan}的前4项和等于A.4B.3C.2D.1前4项和S4＝lga1＋lga2＋lga3＋lga4＝lg(a1a2a3a4)，又∵等比数列{an}中，a2a3＝a1a4＝10，∴S4＝lg100＝2.(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于A.18B.－18C.578D.558答案解析因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且公比不等于－1，在等比数列中，S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以有8(S9－S6)＝(－1)2，S9－S6＝，即a7＋a8＋a9＝.1818分类讨论思想在等比数列中的应用思想与方法系列13(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明.典例(12分)已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：Sn＋1Sn≤136(n∈N*).规范解答思想方法指导课时作业1.在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－1，a5＝2＋1，则a23＋2a2a6＋a3a7等于A.4B.6C.8D.8－42√12345678910111213答案解析在等比数列中，a3a7＝a25，a2a6＝a3a5，所以a23＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.2.(2016·珠海模拟)在等比数列{an}中，若a10，a2＝18，a4＝8，则公比q等于A.32B.23C.－23D.23或－23√答案解析由a1q＝18，a1q3＝8解得a1＝27，q＝23或a1＝－27，q＝－23.又a10，因此q＝－23.123456789101112133.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于A.12B.13C.14D.15√答案解析设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a31q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝a31q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14，故选C.1234567891011121312345678910111213*4.(2015·福建)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于A.6B.7C.8D.9√答案解析123456789101112135.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了A.192里B.96里C.48里D.24里√答案解析6.(2016·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为A.12B.32C.1D.－32√答案解析12345678910111213因为a3a4a5＝3π＝a34，所以a4＝.log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a74＝7log3π33＝7π3，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋lo