2.1.4 平面与平面之间的位置关系课件 新人教A版必修2

制作人：豆猛刚阅读教材P46～47，回答：1．空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别，那么这两个角相等或互补，此结论称作等角定理．2．直线a、b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′、b′，并使a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的叫做异面直线a和b所成的角(或夹角)．其范围是．3．若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线，异面直线a和b互相垂直，可记作.(0°，90°]互相垂直a⊥b平行锐角或直角4．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对[答案]B本节学习重点：等角定理．本节学习难点：求异面直线所成的角．1．等角定理的证明如下：已知：如图所示，∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，且射线AB与A′B′同向，射线AC与A′C′同向．求证：∠BAC＝∠B′A′C′.[证明]对于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面内的情形，用初中所学的知识容易证明．下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在∠BAC的两边和∠B′A′C′的两边上截取线段AD、AE和A′D′、A′E′，使AD＝A′D′、AE＝A′E′.∵AD綊A′D′，∴AA′D′D是平行四边形．∴AA′綊DD′.同理可得AA′綊EE′.∴DD′綊EE′.∴DD′E′E是平行四边形．∴DE＝D′E′.∴△ADE≌△A′D′E′.∴∠BAC＝∠B′A′C′.2．应用等角定理时要特别注意其条件．①若一个角的两边与另一角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．②若一个角的两边与另一角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．确定异面直线所成角时，与O点在空间位置无关，常把O点选在两条异面直线中的一条上，这样可少作一条平行线，还可把O选在图形的特殊位置上，然后利用三角形的有关知识加以解决，应用时注意异面直线所成角的范围，常常出现三角形内角的补角为异面直线所成角的情况．[例1]如图所示，在正方体AC1中，M、M1分别是AD、A1D1的中点．求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[分析]证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法．另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等．[解析]解法1：连M1M，M1、M分别是A1D1和AD的中点⇒A1M1綊AM⇒AMM1A1为平行四边形⇒AA1綊MM1AA1綊BB1⇒MM1綊BB1⇒四边形BB1M1M为平行四边形⇒M1B1∥MB同理，M1C1∥MC∠B1M1C1的两边与∠BMC的两边方向相同⇒∠BMC＝∠B1M1C1.解法2：同上可证M1B1BM为平行四边形⇒M1B1＝MB同理，C1M1＝CM又B1C1＝BC⇒△M1C1B1≌△MCB⇒∠BMC＝∠B1M1C1.[例2]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列异面直线所成的角．(1)A1B与CC1(2)AB与B1C1(3)A1B与AC.[解析](1)∵BB1∥CC1，∴∠A1BB1就是A1B与CC1所成的角，等于45°.(2)∵B1C1∥BC∴∠ABC就是AB与B1C1所成的角，等于90°.(3)∵AC∥A1C1，∴∠BA1C1就是AC与A1B所成的角，在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠BA1C1＝60°即A1B与AC所成角为60°.四棱锥A－BCD中，AD＝1，AC＝32，BC＝3，BD＝132，AD⊥BC，则AC与BD所成的角为________．[答案]90°[解析]解法1：如图所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连结EF、FH、HG、GE、GF.∴EF∥AC，且EF＝34，GE∥BD，且GE＝134.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角．同理，GH＝12，HF＝32，GH∥AD，HF∥BC.又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°.∴GF2＝GH2＋HF2＝1.在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.解法2：如图所示，在平面BCD内，过C作CE綊BD.连结DE，则DE綊BC，∴∠ACE就是AC和BD所成的角或其补角．又AD⊥BC，∴AD⊥DE.∴AE2＝AD2＋DE2＝4.在△ACE中，AC2＋CE2＝322＋1322＝4＝AE2，∴∠ACE＝90°.即AC和BD所成的角为90°.[例3]由四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面体．如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，CF与DE是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线CF、DE的平行线，找出异面直线CF与DE所成的角．[解析]思路1：选取平面ACD，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF，②该平面与DE相交于点D，伸展平面ACD，在该平面中，过点D作DM∥CF交AC的延长线于M，连结EM.可以看出：DE与DM所成的角，即为异面直线DE与CF所成的角．如图1.思路2：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF，②该平面与DE相交于点E.在平面BCF中，过点E作CF的平行线交BF于点N，连结ND，可以看出：EN与ED所成的角，即为异面直线FC与ED所成的角．如图2.思路3：选取平面ADE，该平面有如下两个特点：①该平面包含直线DE，②该平面与CF相交于点F.在平面ADE中，过点F作FG∥DE，与AE相交于点G，连结CG，可以看出：FG与FC所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角．如图3.思路4：选取平面BCD，该平面有如下特点：①该平面包含直线DE，②该平面与CF相交于点C，伸展平面BCD，在该平面内过点C作CK∥DE与BD的延长线交于点K，且DK＝BD，连结FK，则CF与CK所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角．如图4.总结评述：(1)上面四个思路的共同点是：由两条异面直线中的一条与另一条上一个点确定一个平面，在该平面内过该点作该直线的平行线，从而找出两条异面直线所成的角，这是立体几何“化异为共”“降维”的基本思想．(2)求两条异面直线所成角的关键是作出这两条异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角．值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置．一般提倡像思路2、思路3那样作角，因为此角在几何体内部，易求．(3)找出异面直线所成的角后求角的大小．一般要归到一个三角形中，通过解三角形求出角的大小，如本题思路1中可归结为解△DEM.思路2中可归结为解△DEN等等，由于本例中三角形是斜三角形，待我们学过解斜三角形后，即可计算．(4)实际问题中，若含有“中点”“比例点”常利用中位线，比例线段进行平移．在四面体ABCD中，已知各个面都是正三角形，E是棱BC的中点，则异面直线AE和BD所成角的余弦值为________．[分析]可在平面BCD内过E作BD的平行线EF，在△AEF中求得所成角的余弦值．[解析]如图．取CD的中点F，∵E为BC的中点，∴EF∥BD，∴AE与EF所成的锐角或直角就是异面直线AE和BD所成的角．设四面体的棱长为a，由正三角形的性质知，AE＝AF＝32a，EF＝12a.在△AEF中，cos∠AEF＝12EFAE＝36，即异面直线AE和BD所成角的余弦值为36.[例4]空间四边形ABCD中，P、Q、R、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．(1)若AC⊥BD时，PQRH是什么四边形？(2)空间四边形满足什么条件时，PQRH为正方形？[分析]利用三角形中位线及平行公理讨论．[解析](1)在△ABD中，P、H为AB，AD中点，∴PH綊12BD，同理，QR綊12BD，∴PH綊QR∴四边形PQRH为平行四边形∵AC⊥BD，PH∥BD，PQ∥AC，∴∠HPQ＝90°，四边形，∴PQRH为矩形．(2)由(1)知，当AC⊥BD时，四边形PQRH为矩形，∴要使四边形为正方形，应有PH＝PQ，∴AC＝BD，∴当AC＝BD，且AC⊥BD时，PQRH为正方形．(07·福建)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A．45°B．60°C．90°D．120°[答案]B[分析]根据异面直线所成角的定义，可取空间任一点作两条异面直线的平行线，为简便此点可取某个特殊点．本例中，E、F、G、H均为中点，且E、F、G都在平面ABB1A1上，故取A1B1的中点M，则有GM∥EF.[解析]取A1B1的中点M，∵E、F、G分别为A1A、AB、BB1的中点，∴EF∥A1B∥GM，∴∠MGH为两异面直线EF与GH所成的角(或补角)，易知△GHM为正三角形，∴∠MGH＝60°，故选B.[例5]垂直于同一直线l的两条直线a、b，这三条直线最多可能确定几个平面？[错解]∵a⊥l，b⊥l∴a∥b∴a、b、l最多可确定一个平面[辨析]立体几何虽与平面几何密切相关，但并非平面几何的结论都可无条件地推广到空间，如“a⊥l，b⊥l，则a∥b”这一结论在空间并不成立．[正解]如图(1)，正方体中，棱a、b都与棱l垂直相交，三线可确定3个平面．如图(2)，a与l垂直不相交，b与l垂直相交，a∥b，这时三线可确定2个平面．如图(3)，a，b都与l垂直相交，a∥b，此时，三线只能确定1个平面．如图(4)，l⊥a，l⊥b，三线互不相交，此时，三线不能确定平面，故当三线在两两垂直交于一点时，确定的平面最多为3个．