2.1离散型随机变量(高中数学人教A版选修2-3).

2.1.1离散型随机变量教学目的：（1）了解随机变量、离散型随机变量的意义，并能说明随机变量取的值所表示的随机试验的结果奎屯王新敞新疆（2）理解离散型随机变量分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列。（3）掌握离散型随机变量分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题．教学重点：随机变量的意义，离散型随机变量的分布列的概念奎屯王新敞新疆教学难点：随机变量意义的理解及离散型随机变量分布列的求法奎屯王新敞新疆前前面面,,我我们们学学习习了了概概率率有有关关知知识识..知知道道概概率率是是描描述述在在一一次次随随机机试试验验中中的的某某个个随随机机事事件件发发生生可可能能性性大大小小的的度度量量..复习回顾随随机机试试验验是是指指满满足足下下列列三三个个条条件件的的试试验验::①①试试验验可可以以在在相相同同的的情情形形下下重重复复进进行行；；②②试试验验的的所所有有可可能能结结果果是是明明确确可可知知的的，，并并且且不不只只一一个个；；③③每每次次试试验验总总是是恰恰好好出出现现这这些些可可能能结结果果中中的的一一个个，，但但在在一一次次试试验验之之前前却却不不能能肯肯定定这这次次试试验验会会出出现现哪哪一一个个结结果果。。思思考考::你你能能举举出出一一个个随随机机试试验验的的例例子子吗吗??并并说说明明该该随随机机试试验验的的所所有有可可能能结结果果..引例：（1）抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？（2）姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况？（3）抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一种情况吗？1，2，3，4，5，60分，1分，2分正面向上，反面向上能否把掷硬币的结果也用数字来表示呢？分析：不行，虽然我们能够事先知道随机试验可能出现的所有结果，但在一般情况下，试验的结果是随机出现的。随机变量是将随机现象的结果数量化，把对随机事件及概率的研究转化为对随机变量及概率的研究.知识要点1.随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示.注：ξ，η为希腊字母，读音分别为[ksai]，[i:te].2.随机变量和函数的相同点（1）随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映射为实数;（2）在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域.知识要点例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球，若从中任取3个，则其中所含白球的个数x就是一个随机变量，求x的取值范围，并说明x的不同取值所表示的事件。解：x的取值范围是{0，1，2，3}，其中{x=0}表示的事件是“取出0个白球，3个黑球”；{x=1}表示的事件是“取出1个白球，2个黑球”；{x=2}表示的事件是“取出2个白球，1个黑球”；{x=3}表示的事件是“取出3个白球，0个黑球”；变题：{x3}在这里又表示什么事件呢？“取出的3个球中，白球不超过2个”知识要点3.离散型随机变量如果随机变量X的所有可能值只有有限多个或可列多个（所有值可以一一列出）则称之为离散型随机变量.二、随机变量的分类：二、随机变量的分类：1、如果可以按一定次序，把随机变量可能取的值一一列出，那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。（如掷骰子的结果，城市每天火警的次数等等）2、若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的随机变量叫做连续型随机变量。（如灯泡的寿命，树木的高度等等）注意：（1）随机变量不止两种，我们只研究离散型随机变量；（2）变量离散与否与变量的选取有关；比如：对灯泡的寿命问题，可定义如下离散型随机变量0,10001,1000Y寿命小时寿命小时说明：（1）离散型随机变量ξ可能取的值为有限个或至多可列个，这里的“可列”不易理解，所以课本用比较浅显的语言“按一定次序一一列出”来描述比如ξ取1，2，…，n，…（2）教材中为了控制难度，所涉及到的离散型随机变量可能取的值的个数多数是有限的.练习一:写出下列各随机变量可能的取值:(1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数．(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数．（3）抛掷两个骰子，所得点数之和．(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数．(5)某一自动装置无故障运转的时间．(6)某林场树木最高达30米，此林场树木的高度．xxxxx离散型连续型x（＝1、2、3、···、10）x（内的一切值）0,30x取（内的一切值）(0,)x取（＝0、1、2、3）x2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12x1,2,3,x例题2某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品数的结果.解：我们用η表示含有的次品数，则η是一个随机变量.η=0，表示含有0个次品；η=1，表示含有1个次品；η=2，表示含有2个次品；η=3，表示含有3个次品；η=4，表示含有4个次品.例题3从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数ξ；解：ξ可取1，2，…，10.ξ＝1，表示取出第1号卡片；ξ＝2，表示取出第2号卡；……ξ＝10，表示取出第10号卡片.例题4某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环的结果.解：我们用ε表示射击的命中环数，则ε是一个随机变量.继续解答ε=0，表示射击命中0环；ε=1，表示射击命中1环；ε=2，表示射击命中2环；ε=3，表示射击命中3环；ε=4，表示射击命中4环；……ε=10，表示射击命中10环.ε3表示什么意思？思考电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？分析：电灯泡的寿命X的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X不是离散型随机变量.注意在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当的定义随机变量.例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否不少于1000小时，那么就可以定义如下的随机变量：0，寿命1000小时；1，寿命=1000小时.Y1.随机变量的概念随机变量是随机事件的结果的数量化;随机变量ξ的取值对应于随机试验的某一随机事件.2.离散型随机变量的概念所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.课堂小结3.随机变量与函数的相同之处（1）随机变量是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的;（2）随机变量与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量ξ的自变量是试验结果.1.指出下列随机变量是离散型随机变量还是连续型随机变量：课堂练习（1）郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50米有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上电线铁塔的编号ξ.解：是离散型随机变量.因为铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出.（2）江西九江市水位监测站所测水位在（0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.解：是连续型随机变量.因为水位在（0，29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.课堂练习2.选择（1）抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是____.A.一颗是3点，一颗是1点B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点√（2）将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是_____.A.两次出现的点数之和B.两次掷出的最大点数C.第一次减去第二次的点数差D.抛掷的次数√3.解答题（1）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；解：ξ可取0，1，2,3.ξ＝０，表示取出０个白球；ξ＝１，表示取出１个白球；ξ＝２，表示取出２个白球；ξ＝３，表示取出３个白球.（2）用随机变量表示下列试验，写出它们的值域：①掷一枚普通的骰子所得到的结果为1、2、3、4、5、6；②在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数.解：表示为：①{1，2，3，4，5，6}②{0，1，2，3，4}（3）姚明每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？投进零个球———0分投进一个球———1分投进两个球———2分投进三个球———3分（4）写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果.①盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ；解：①ξ可取0,1,2,3.ξ=i表示取出i支白粉笔，3-i支红粉笔，其中i=0,1,2,3;（4）写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果.②从4张已编号（1号~4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ.解：②ξ可取3,4,5,6,7.其中ξ=3表示取出分别标有1,2的两张卡片；ξ=4表示取出分别标有1,3的两张卡片；ξ=5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；ξ=6表示取出分别标有2,4的两张卡片；ξ=7表示取出分别标有3,4的两张卡片.三、离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为：x1，x2，…，xi，…，xnX取每一个xi(i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=Pi，则称表：Xx1x2…xi…PP1P2…Pi…为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了表达简单，也用等式P(X=xi)=Pii=1，2，…，n来表示X的分布列离散型随机变量的分布列应注意问题：Xx1x2…xi…PP1P2…Pi…1、分布列的构成：（1）列出了离散型随机变量X的所有取值；（2）求出了X的每一个取值的概率；2、分布列的性质:0,1,2,ipi（1）1211ninipppp（2）练习1.随机变量ξ的分布为解:(1)由离散型随机变量的分布性质有ξ-10123p0.16a/10a2a/50.3（1）求常数a;（2）求P(1ξ4)(2)P(1ξ4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.12+0.3=0.42解得：（舍）或20.160.31105aaa910a35a3、某一射手射击所得环数x分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率是_______课堂练习：0.88若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数，请把X取不同值的概率填入下表，并求判断下列事件发生的概率是多少？（1）{X是偶数}；（2）{X3}；X123456P解：P(X是偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)12P(X3)=P(X=1)+P(X=2)13616161616161例1、袋子中有3个红球，2个白球，1个黑球，这些球除颜色外完全相同，现要从中摸一个球出来，若摸到黑球得1分，摸到白球得0分，摸到红球倒扣1分，试写出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列.解：因为只取1球，所以X的取值只能是1，0，-1121(1),(0),66331(1)62PXPXPX∴从袋子中随机取出一球所得分数X的分布列为：X10-1P111632求离散型随机变量分布列的基本步骤：（1）确定随机变量的所有可能的值xi（2）求出各取值的概率P(X=xi)=pi（3）列出表格定值求概率列表接下来认识两个特殊的分布.首先,看一个简单的分布─两点分布；如果随机变量x的分布为：这样的分布列称为两点分布,称随机变量x服从两点分布,而称(1)pPx为成功概率.两点分布与超几何分布，qP0x，pP1x，1,0qp.1qp两点分布的应用非常广泛.如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X的概率分布为两点分布，就称X服从两点分布(twopointdistribution)，而称p=P(X=1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．又只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（Bernoulli）试验所以还称这种概率分