数学思想方法及其教学设计(培训修改稿)

数学思想方法及其教学仪陇县数学名师工作室仪陇县初中数学教师培训讲座二O一二年十月主讲人：何直思想是课堂的生命！问题是课堂的灵魂！•波利亚指出：一贯强调把“有益的思考方式，应有的思维习惯”放在教学的首位。•闵山国藏说：学生在毕业之后不久，数学知识就很快忘掉了，“然而，不管他们从事什么职业的工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、思维方法、推理方法和着眼点（如果培养了这种素质的话），在随时发生作用，使他们受益终身。”本次讲座我们共同来探讨下面四个问题：一、数学思想方法释义二、数学思想方法的教育意义三、数学教材中的数学思想方法四、数学思想方法的教学设计•一、数学思想方法释义•数学思想•数学方法•数学思想方法1、数学思想的含义现代汉语中，思想解释为：客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。《辞海》称思想为理性认识。《中国大百科全书》认为，思想是相对于感性认识的理性认识结果。可见，思想是认识的高级阶段，是事物本质的、抽象的、概括的认识。由此推演，数学思想应是数学中的理性认识，是数学中高度抽象、概括的内容，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它既蕴藏于数学知识内容之中，是数学知识的本质，又隐含于运用数学理论分析、处理和解决问题的过程之中。数学思想既可以“泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果”，如微积分思想、概率统计思想等，又包括对数学的起源与发展、数学的本质和特征、数学内部各分支各体系之间对立统一关系、数学与现实世界的关系及地位作用的认识，如常量与变量之间的辩证关系的认识等。2、数学方法的含义：方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中，所包含的可操作的规则或模式，具有程序性、规则性、可操作性、模式性、指向性等特征。方法因问题而生，因能解决问题而存。数学方法是指在数学地提出问题、研究问题和解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采用的各种手段或途径。3、数学方法的层次第一层次是基本和重大的数学思想方法，如模型化方法、微积分方法、概率统计方法、拓扑方法、计算方法等；第二层次是与一般科学方法相应的数学方法，如类比联想、分析综合、归纳演绎等；第三层次是数学中的特有方法，如数学表示、数学等价、数形转换等；第四层次是中学数学中的解题方法和技巧。4、数学方法分为宏观的和微观的两类：宏观的数学方法包括：模型方法，变换方法，对称方法，无穷小方法，公理化方法，结构方法，实验方法。微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：(1)逻辑学中的方法：例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等．这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。(2)数学中的一般方法：例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法．代数中常称图象法等），这些方法极为重要，应用也很广泛。(3)数学中的特殊方法：例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解法以及平移法、翻折、旋转法等。这些方法在解决数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。5、数学思想与数学方法的关系数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性；数学思想是内隐的，而数学方法是外显的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步概括和升华；如果把数学思想看作建筑的一张蓝图，那么数学方法就相当于建筑施工的手段。数学思想和数学方法又具有相对性，同一个数学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作过程时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为数学思想。二、数学思想方法的教育意义对于数学思想方法的研究由来已久，在一定程度上反映了其研究的重要性。当今，我们正面临新一轮教学改革，面对从“应试教育”向“素质教育”转变的伟大实践，开展对数学思想方法的研究更有着深远的现实意义。1、有利于促进数学发展：数学思想方法的发展历史告诉我们，数学上每一项重大成果的取得，无不与数学思想的突破及数学方法的创新有关，正是新的思想方法的不断开拓，促进着数学事实的发现和发展，把握住它就可以把握数学发展的脉络，因此，数学思想方法是数学发展的潜在动力。2、有利于发挥数学的功能：数学不仅具有科学技术的功能，而且具有文化教育的功能，它不仅为科学研究提供简洁精确的形式化语言和推理依据，成为各门科学不可缺少的工具，在促进人的智力发展，提高人的数学素养以培养人的良好个性品质，实现人的自我完善方面具有不可取代的独特作用。3、有利于改革数学教育：近些年来，虽然传统的数学教学在改革浪潮中不断受到批判，但是重结果轻过程、重知识轻能力、重题型训练轻思想方法的不良状况却依然存在。不少老师依旧注重从概念到概念，从定理到推论的逻辑演绎，而对如何形成数学概念、如何发现定理以及如何探求解题途径的过程不够重视，这些问题在教学中所产生的负面影响越来越明显。因此，改革传统的教育观念、思想和方法，培养创造性人才已成为当今数学教育改革的重要任务。数学教育改革要贯彻两条原则－－“教学、探究、发现”同步协调原则和“既教知识又教思想方法”的原则；瞄准三个具体目标－－引导学生自我增进一般科学素养，提高学生的社会文化修养，形成和发展学生的数学品质。4、有利于提高教师水平：要想培养大批有创造才能的学生，高水平的数学教师队伍的培训刻不容缓。一个理想的数学教师除了应具备精深的数学知识和广博的知识面、丰富的数学教育理论和娴熟的数学技能、较高的教学水平和教学艺术外，还应具有宽厚的方法论的功底和修养，只有如此，才能从数学教材中挖掘出方法论的素材，有意识地在教学中予以渗透和融合，能在概念、定理、公式的教学中，通过对客观背景、发现过程及研究方法的介绍，启发学生的求知欲望，培养学生的创造性。随着数学思想方法的深入研究，数学教师的知识不断得到更新，素质不断提高。这样我们的教师，就既能从事数学教育，又能从事学科研究，从而逐步形成“波利亚型”的数学教师队伍。教学实践证明，教师能否掌握和灵活运用数学思想方法，是其数学素养的集中体现，也是全面提高学生素质、培养和提高学生数学创造能力的重要保证。三、数学教材中的思想方法(1)数形结合思想:数学是研究空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是数与式、方程、不等式、函数等，它包含代数中的一切内容。“形”就是图形、图象、曲线等，它包含几何中的一切内容。数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确的研究形的思想。1、初中教材中隐含的数学思想：•数形结合的思想，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来。关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想解题时要注意三点：一要彻底明白相关概念和运算的几何意义及曲线的代数特征，对问题中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；三是正确确定参数的取值范围。例2、方程的正根的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个x2=x2x2－例1、对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，b＜0，c＜0，则下面关于这个函数与x轴的交点情况正确的是（）A.只有一个交点B.有两个，都在x轴的正半轴C.有两个，都在x轴的负半轴D.一个在x轴的正半轴，一个在x轴的负半轴8642-2-4-6-8-10-5510例2、(08湖北恩施州)如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出下列代数式的最小值.EDCBA224(12)9xx此例，以“形”助“数”，又以“数”辅“形”，是运用数形结合的典范，也是构造法运用的一例。OyxAPB上式的直观意义十分明显：所求之值对应着直角坐标系内x轴上的点到、两点的距离之和。由图本例（3）小题若不理解（1）、（2）的设问意图，从纯代数的角度思考显得抽象，求解困难。如果赋予数量关系以几何意义，可由前两问构造直角三角形求解；另一方面，若将所求式子改写为：2222(0)(02)(12)(03)xx(,0)Px(0,2)A(12,3)B可知，当A、P、B三点共线时所求之和有最小值13。•(2)分类讨论思想:在解决某些问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况进行分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想，同时是一种重要的解题策略。它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练学生的思维条理性和概括性。••引起分类讨论的原因主要有以下几个方面：•（1）问题所涉及的数学概念是分类进行定义的，这种分类讨论的题型称为概念型。•（2）问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或条件限制，或者是分类给出的，这种分类讨论称为性质型。•（3）解含参数的问题时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论，这种分类讨论称为含参型。•另外，某些不确定的数、不确定的图形形状或位置、不确定的结论等，都需要通过分类讨论，保证其完整，使之具有确定性。•进行分类讨论时，必须遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏，不重复，科学地划分，分清主次，不超级讨论。•例1、一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是•-3≤x≤6，，相应的函数值的取值范围是•-5≤y≤-2，则这个函数的解析式。•由题意分类讨论列出关于k、b的方程组：-5=-3k+b-2=6k+b-5=6k+b-2=-3k+b例2、函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。分两种情况（1）a＝0，（2）a≠0求解。（1）、对∠A进行讨论（2）、对∠B进行讨论（3）、对∠C进行讨论CABACB20°20°20°20°CAB80°80°20°CAB35°35°110°ACB50°110°20°例3、在三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！CAB50°50°CAB65°65°50°例4、如图，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）.一次函数y＝x＋t的图象l随t的不同取值变化时，正方形中位于l的右下方部分的图形面积为S．写出S与t的函数关系式．lDCBAyxO分五种情况讨论如下：0,0ts2,2ts4,4tslDCBAyxOlDCBAyxO.212tS20t42t2)4(214tS•(3)方程与函数思想:方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程组、不等式组或混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）使问题获解。函数思想，是用函数的概念和性质去分析转化问题和解决问题的思想。函数与方程思想有时互相转化、接轨，以达到解决问题的目的。例如：••例1、如图，中，BC＝4，，P为BC上一动点，过点P作PD//AB，交AC于D。连结AP，问点P运动在BC上何处时，△APD面积最大？ABCACACB2360，ADBPHC分析：设BP＝x，△APD的面积为y，则23)2(832xy其中：(04)x例2、以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB边于点E.则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（）(A)3:4(B)4:5(C)5:6(D)6:7分析：如图，设BE＝x，由切线长定理和勾股定理建立关于x的方程求解•(4)转化化归思想:•在解决问题的过程中，难于对问题进行直接求解，而是对其进行逐步变形、转化，直至把它化归为熟悉的、规范的甚至模式化、简单化的问题进行求解，称为转化化归思