2013届高三数学一轮复习课件数列的概念

2013届高三数学一轮复习课件第三章数列数列的概念 考点考纲解读1数列概念及几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)以an与Sn的关系为条件考查通项公式的求法.2数列的函数特征以函数为载体学会用函数的思想方法解决相关数列问题,考查数列的通项及性质. 本节是数列整章的基础,也是高考常考的基础知识.在新课标的要求中,降低了相应问题的难度,明确提出要通过日常生活实例来了解数列的概念,并把通项公式归为几种简单表示方法中其中一种,与列表法、图象法放在同等地位,所以预测2013年高考中涉及本节知识的试题若为选择题或填空题,属于基础题,难度不大,若为综合题,难度一般也不大,当然不排除出现难题.复习过程中注意解题的规范性,技巧性及效率,不能在基础题中失分,注意用函数的思想方法解决数列问题. 1.数列的概念数列是按一定的次序排列的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数集N*(或它有有限子集)的函数f(n),当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2),f(3),…,f(n),…,通常用an来代替f(n),其图象是一群孤立点.2.数列的通项公式一个数列的第n项an与n之间的关系,如果可以用一个公式an=f(n)来表示,那么我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.同一个数列的通项公式的形式不一定唯一,且不是每个数列都有通项公式.3.数列的分类(1)按数列项数是有限还是无限分为:有穷数列、无穷数列;(2)按数列项与项之间的大小关系分为:递增数列,递减数列,常数列,摆动数列;(3)按任何一项的绝对值是否都大于某一正数分为:有界数列和无界数列;4.数列的通项an与前n项和Sn之间的关系:数列{an}中,Sn=a1+a2+a3+…+an;an= 由数列的前n项和Sn求通项an时,要分n=1和n≥2两种情况分别进行计算,然后验证这两种情形是否可用统一的式子表示,若不能,就采用类似分段函数的形式表示.5.数列的性质11(1),(2).nnSnSSn(1)数列的单调性在数列{an}中,如果对于任意的n∈N*,都有an+1an成立,那么我们就说数列{an}为递增数列;如果对于任意的n∈N*,都有an+1an成立,那么我们就说数列{an}为递减数列;(2)数列的周期性在数列{an}中,若存在正整数k,对n∈N*都有an+k=an,则数列{an}是周期数列,且周期为k.6.Sn的最值(1)若已知Sn,则可依据函数最值的求法计算(其中n∈N*);(2)若已知an,则Sn取最值时n(n∈N*)的值可由 或 来确定. 10,0nnaa10,0nnaa1.已知数列{an}的通项公式为an=25-2n,下列各数中不是{an}的项的是 ()(A)1.(B)-1.(C)2.(D)3.【解析】令1=25-2n,得n=12,同理-1和3都是数列中的项,C不是.【答案】C2.观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,…,根据上述规律,第四个等式为.【解析】第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1到i+1和的完全平方,所以第四个等式为13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2.【答案】13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)23.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为 ()(A)15.(B)16.(C)49.(D)64.【解析】a8=S8-S7=64-49=15.【答案】A4.在数列{an}中,an+1= (n∈N*),且a7= ,则a5等于 ()(A) .(B) .(C)1.(D)-1.【解析】由an+1= (n∈N*)得an= ,又a7= ,所以a6= ,a5=1.【答案】C 22nnaa12232522nnaa1122nnaa1223题型1归纳数列的通项公式 例1(1)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是 ()(A)n2-n+1.(B) .(C)n(n-1).(D) .(1)2nn(1)2nn(2)若数列的前四项为2,0,2,0,则这个数列的通项公式不可能是 ()(A)an=1+(-1)n+1.(B)an=1-cosnπ.(C)an=2sin2 .(D)an=1+(-1)n.2n【分析】找出数列的通项公式,应注意观察数列中an和n的联系与变化情况,应特别注意:自然数列、正奇数列、正偶数列,(-1)n和相关数列,等差、等比数列,以及由它们组成的数列,从中找出规律性,并分别写出通项公式.在选择题中,可以用特例法或排除法得到结果.【解析】(1)令n=1,2,3,4,验证答案.(2)当n=1时,D中a1=0不符合题意.【答案】(1)D(2)D【点评】(1)联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.(2)求数列的通项公式,应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确,以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做得不够多,应注意对每一数列认真找出规律并验证.变式训练1(1)设数列 , ,2 , , ,…,则4 是这个数列的 ()(A)第9项.(B)第10项.(C)第11项.(D)第12项.25211142(2)数列- , ,- , ,- ,…的一个通项公式是.【解析】(1)由条件可知an=,∴4 = =.1234781516313223(1)n23223(111)(2)数列的奇数项为负数,偶数项为正数,所以借助(-1)n来确定符号.易看出各项分母分别为21,22,23,24,25,…,且每一项的分子比分母少1,所以这个数列的通项公式为an=(-1)n .212nn【答案】(1)C(2)an=(-1)n 212nn 例2(1)(2011年丰台二模)已知数列{an}中,a1= ,an=1- (n≥2),则a2011等于 ()(A)- .(B)- .(C) .(D) .3511na12233552题型2数列的周期性(2)已知数列2012,2013,1,-2012,-2013,-1,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项的和,则前2013项的和S2013的值为.【分析】(1)由已知可知a2=- ,a3= ,a4= ,a5=- ,…所以数列是周期数列,周期为3;(2)由题意可知an+1+an-1=an;an+an+2=an+1;两式相加即可得到an+2=-an-1,∴an+3=-an,从而联想到函数的周期性可以得到an+6=an,从而确定出数列{an}的周期性.23523523【解析】(1)由递推公式得a2=- ,a3= ,a4= ,a5=- ,…,所以数列是周期数列,周期为3,于是a2011=a670×3+1=a1= .2352352335(2)由题意可知an+1+an-1=an,an+an+2=an+1,两式相加即可得到an+2=-an-1.∴an+3=-an可得到an+6=an;即是以6为周期的数列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,又∵2013=335×6+3,∴a1+a2+a3+…+a2013=a1+a2+a3=2012+2013+1=4026.即S2013=4026.【答案】(1)C(2)4026【点评】观察是数学研究中最基本的方法,而“周期现象”又是数学规律中一个十分重要的规律,数列的周期性与函数的周期性类似,可以借鉴.解题中要总结规律,当遇到递推公式同时所求的项较大,往往就是数列的周期性变化规律,同学们要认真分辨.变式训练2(1)设函数f(x)定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意n∈N均有xn+1=f(xn),则x2013的值为 ()(A)1.(B)2.(C)4.(D)5.x12345f(x)41352(2)已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=a,a2=b,设Sn=a1+a2+…+an,则下列结论正确的是 ()(A)a100=-a,S100=2b-a.(B)a100=-b,S100=2b-a.(C)a100=-b,S100=b-a.(D)a100=-a,S100=b-a.【解析】(1)x1=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4)=5,所以x0=x4,可知是以4为周期的数列,所以x2013=x1=2.(2)∵an+1=an-an-1=an-1-an-2-an-1=-an-2,∴an+1=an-5.∴数列是以6为周期的周期数列.∴a100=a6×16+4=a4=-a,∵S6=0,∴S100=S4=2b-a.【答案】(1)B(2)A题型3数列的增减性与最值 例3设f(n)=1+ + +…+ ,g(n)=lnn(n∈N*).设an=f(n)-g(n),求a1,a2,a3,并证明{an}为递减数列.【分析】由通项公式分别求出数列的前几项,根据递减数列的定义证明数列的单调性.注意利用构造函数法来解决问题,对复杂的函数可以利用导数的应用解决其单调性问题.12131n【解析】(1)an=1+ + +…+ -lnn.由此a1=1,a2= -ln2,a3= -ln3.又an+1-an=lnn-ln(n+1)+ =ln(1- )+ .构造函数h(x)=ln(1-x)+x,x∈(0,1).12131n3211611n11n11n由h‘(x)=1- =- 0,知h(x)在(0,1)上为单减函数,从而当x0时,h(x)h(0)=0.取x= ∈(0,1),有h( )0即an+1-an0.故{an}为递减数列.11x1xx11n11n【点评】数列的单调性等性质是高考中经常考查的内容.有关数列的最大项、最小项、有界性等问题,都可以借助于数列的单调性来研究,必须牢固掌握这类问题的解决方法,常用方法有作差法、作商法、利用函数的单调性等方法,特别要注意导数的应用与数列单调性的结合问题.变式训练3(1)已知an= (n∈N*),则数列{an}的最大项是 ()(A)第12项.(B)第13项.(C)第12项或第13项.(D)不存在.2156nn(2)已知数列{an}的通项公式为an= ,则{an}为 ()(A)递增数列.(B)递减数列.(C)从某项后为递减数列.(D)从某项后为递增数列.【解析】(1)由已知得,an= = ;由函数的知识即可知n=12或13时an最大.!10nn2156nn1156nn(2)an+1=an× ,从第11项开始递增.【答案】(1)C(2)D110n 例4已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n,数列{bn}的前n项和Tn=2-bn.题型4利用an与Sn的关系解题(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)设cn= ·bn,证明:当且仅当n≥3时,cn+1cn.2na【分析】由an= 可求出an和bn,这是数列中求通项的常用方法之一,在求出an和bn后,进而得到cn,接下来用作差法与作商法来比较大小,这也是一常用方法.【解析】(1)由于a1=S1=4,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+2n)-[2(n-1)2+2(n-1)]=4n,∴an=4n(n∈N*).又当n≥2时bn=Tn-Tn-1=(2-bn)-(2-bn-1)=bn-1-bn,∴2bn=bn-1.又b1=1.11(1),(2),nnanSSn∴数列{bn}是等比数列,其首项为1,公比为 ,∴bn=( )n-1.1212(2)由(1)知c1= ·b1=16,∴ == ,由 1得 1,即n≥3.又n≥3时 1成立,即 1,由于cn0恒成立.因此,当且当仅n≥3时,cn+1cn.21a1nncc21121116(1)()2116()2nnnn22(1)2nn1nncc22(1)2nn22(1)2nn1nncc【点评】已知一个数列的前n项和Sn,相当于间接给出了n≥2时的an,千万要注意到不可忽视当n=1时,a1=S1从而进一步求得n∈N*时的an,务必验证两种情形