微积分与不等式

微积分与不等式杨梦婷摘要：本文研究讨论微积分和不等式，首先对微积分和不等式做一个简单的介绍。内容包括其定义；产生过程；历史上的发展与有关的数学家；以及后来的影响。和对不等式的简单介绍。最后重点介绍利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式。关键词：微积分，牛顿莱布尼兹，近代数学，产生，发展，地位，作用，不等式，导数，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式正文一、微积分的定义：什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。定义：设函数(x)在[a,b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点a=x0x1...xn-xn=b把区间[a，b]分成n个小区间[x0，x1]，...[xn-1，xn]。每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)，作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi，并作出和如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作即微积分的产生和背景：17世纪到19世纪是近代数学发展的重要时期,在这一时期数学最大和最有影响的发展莫过于微积分的产生和应用。微积分的内容包括极限、微分学、积分学及其应用,是一门研究变化、运动的学科。这门学科的创立不仅极大的推进了数学自身的发展,而且影响和推动了其它学科的发展,并进而对人类社会的生产时间产生影响。本文探讨了微积分在数学中的地位,同时揭示了其对于当代数学的发展以及其它自然、人文、社会科学发展的作用。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287—前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的?天下篇?中，著有?一尺之棰，日取其半，万世不竭?。三国时期的刘徽在他的割圆术中提出?割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣?。他在1615年《测量酒桶体积的新学科》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。微积分的发展：微积分的正式诞生是在17世纪的后半期,牛顿和莱布尼兹在求积问题与作切线问题之间的互逆关系的基础上创立了微积分的基本定理,并且对无穷小算法进行了归纳与总结,正式创立了微积分这一数学中的重要运算法则。之后,随着数学科学的发展,微积分得到了进一步的发展,其中欧拉对于微积分的贡献最大,他的《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用。之后,洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献。由于这些人的努力,微分方程、级数论得以产生,微积分也正式成为了数学一个重要分支。17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。到了17世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾萨克•牛顿（1642－1727）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。这些概念是力学概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他还把几何图形——线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切变量都是流量。牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。（l）“已知流量之间的关系，求它们的流数的关系”，这相当于微分学。（2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。（3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值、求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。牛顿已完全清楚上述（l）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系。牛顿在1665年5月20目的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。莱布尼茨使微积分更加简洁和准确而德国数学家莱布尼茨（G．W．Leibniz1646－1716）则是从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是池们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一筹，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度——阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，促进了微积分学的发展，莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。牛顿与莱布尼兹的比较：牛顿(IsaacNewton,1642-1727)1642年生于英格兰。1661年,入英国剑桥大学,1665年,伦敦流行鼠疫,牛顿回到乡间,终日思考各种问题,运用他的智慧和数年来获得的知识,发明了流数术(微积分)、万有引力和光的分析。”[12](p.155)1687年牛顿发表了它的划时代的科学名著《自然哲学的数学原理》,流数术(即微积分)是其三大发现之一。正如爱因斯坦所说的:“牛顿啊你所发现的道路在你的那个时代是一位具有最高思维能力和创造能力的人所发现的唯一道路,你所创造的概念即使在今天仍然指导着我们的物理学思想”。[14](p.192)“莱布尼兹(GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716)生于德国。1672年赴巴黎,在那里接触到惠更斯等一些数学名流,引其进入了数学领域,开始微积分的创造性工作。”[12](p.165)1684年莱布尼茨发表了数学史上第一篇正式的微积分文献《一种求极限值和切线的新方法》。这篇文献是他自1673年以来的微积分研究的概括与成果,其中定义了微分,广泛地采用了微分符号dx、dy,还给出了和、差、积、商及乘幂的微分法则。同时包括了微分法在求切线、极大、极小值及拐点方面的应用。两年后,又发表了一篇积分学论文《深奥的几何与不变量及其无限的分析》,其中首次使用积分符号“∫”,初步论述了积分(或求积)问题与微分求切线问题的互逆问题。即今天大家熟知的牛顿-莱布尼茨公式∫baf(x)dx=f(b)-f(a),为我们勾画了微积分学的基本雏形和发展蓝图。牛顿和莱布尼兹用各自不同的方法,创立了微积分学。如果说牛顿接近最后的结论要比莱布尼兹早一些,那么莱布尼兹发表自己的结论要早于牛顿。虽然牛顿的微积分应用远远超过莱布尼兹的工作,刺激并决定了几乎整个十八世纪分析的方向,但是莱布尼兹成功地建立起更加方便的符号体系和计算方法。两位微积分的奠基人,一位具有英国式的处事谨慎,治学严谨的风度,一位具有德国人的哲理思辨心态,热情大胆。由于阴阳差错的时代背景,过分追求严谨的牛顿迟迟未将自己的发现发表,让莱布尼茨抢了一个发表的头筹。牛顿和莱布尼兹的哲学观点的不同导致了他们创立微积分的方法不同。牛顿坚持唯物论的经验论,特别重视实验和归纳推理。他在研究经典力学规律和万有引力定律时,遇到了一些无法解决的数学问题,而这些数学问题用欧几里德几何学和16世纪的代数学是无法解决的,因此牛顿着手研究新的以求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法———流数法。“牛顿的研究采用了最初比和最后比的方法。他认为流数是初生量的最初比或消失量的最后比。初生量的最初比就是在初生的瞬间的比值,消失量的最后比就是量在消失的瞬间的比值。”[14](p.180)这个解释太模糊了,算不上精确的数学概念,只不过是一种直观的描述。最初比和最后比的物理原型是初速度与末速度的数学抽象,在物体作位置移动的过程中的每一瞬间具有的速度是自明的,牛顿就是从这个客观事实出发提出了最初比和最后比的直观概念。这样他就给出了极限的观点。莱布尼兹的微积分创造始于研究“切线问题”和“求积问题”,他从微分三角形认识到:求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值;求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和。莱布尼兹认识到求和与求差运算是可逆的。莱布尼兹用无穷小的思想给出了微积分的基本定理,并发展成为高阶微分。莱布尼兹的无穷小是分阶的,这源于他哲学中的单子论思想。“莱布尼兹在单子论中指出:不同的单子其知觉的清晰程度是不一样的,并从一种知觉向另一种知觉过渡和变化,发展就是由单子构成的事物,由低级向高级的不同等级的序列。”[16](p.91)可以说,莱布尼兹的无穷小的分阶正是和它的客观唯心论的哲学体系中那个不同层次的单子系统是相对应的。莱布尼兹在微积分的研究过程中,连续性原则成为其工作的基石,而连续性原则是扎根于他哲学中无限的本质的思想。牛顿和莱布尼兹创立微积分的相同点有:从不同的角度创立了一门新的数学学科,使微积分具有广泛的用途并能应用于一般函数;用代数的方法从过去的几何形式中解脱出来;都研究了微分与反微分之间的互逆关系。牛顿和莱布尼兹创立微积分的不同点主要有:牛顿继承了培根的经验论,对归纳特别青睐。牛顿的微积分明显带着从力学脱胎而来的物理模型的痕迹,以机械运动的数学模型出现,其中的基本概念,如初生量、消失量、瞬、最初比和最后比等概念都来自机械运动,是机械运动瞬间状态的数学抽象。他建立微积分的目的是为了解决特殊问题,强调的是能推广的具体结果。而莱布尼兹强调能够应用于特殊问题的一般方法和算法,以便统一处理各种问题。莱布尼兹在符号的选择上花费了大量的时间,发明了一套富有提示性的符号系统。他把sum(和)的第一个字母S拉长表示积分,用dx表示x的微分,这套简明易懂又便于使用的符号一直沿用至今。牛顿认为微积分是纯几何的自然延伸,关心的是微积分在物理学中的应用。经验、具体和谨慎是他的工作特点,这种拘束的做法,使他没有能尽情发挥。而莱布尼兹关心的是广泛意义下的微积分,力求创造建立微积分的完善体系。他富于想象,喜欢推广,大胆而且有思辩性,所以毫不犹豫地宣布了新学科的诞生。五、微积分对现代高数的影响：5.1微积分是近代数学的重要组成内容微积分是近代数学的重要组成内容。微积分是微分学和积分学的总称,微分学包括极限理论、导数理论、微分理论等等,微分学还有一元微分、多元微分,并进一步发展出常微分方程、偏微分方程等等数学知识,微分学的核心思想就是以直代曲,即在微