第7章要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数.

第七章要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函§1.要素需求函数§2.短期成本函数和长期成本函数§3.学习曲线与成本次可加性§4.利润函数与供给函数本章要点§1.要素需求函数一、要素需求函数的推导121122(,)pqCpfxxrxrxb121122(,),qfxxCrxrxb令11221211220,0,pfrpfrxxpfrpfr即说明，利润最大化的条件为要素的使用要达到其边际产量的价值=要素价格。由上述条件可导出要素的需求函数：11122212(,,),(,,)xxrrpxxrrp例：1212,0,0,1,0,0.qAxxxx求关于x1和x2需求函数：111211212212122:pfpAxxrpfpAxxrrxxrx解把代入第1个式子,有:111112111121rpAxxrrprrx1,r令则1111121211221212()(,,)()(,,)rrrrrrxpArrprrxpArrprr同理,用成本最小化求要素需求函数11221212min{}..(,)0,0xrxrstfxxqxx拉氏函数为：12112212111222(,)(,)00LxxrxrxfxxqLrfxLrfx121122(,)Lfxxqrfrf从可解出要素的需求函数注意：在第1种方法中，一般要求生产函数是规模报酬递减的。由成本最小化导出要素的需求函数的方法更具有一般性。二、要素价格变化对要素需求量的影响定义：12(,)fxx严格为凹,如果11221112211221221220,00fffffffff当生产函数严格为凹时，利润极大化问题有解。112200pfrpfr求上式关于x1、x2、r1、r2和p的全微分，可得：1111221121122222111122112112222200pfdxpfdxfdpdrpfdxpfdxfdpdrpfdxpfdxfdpdrpfdxpfdxfdpdr后两式可写作：11121112122222pfpfdxfdpdrpfpfdxfdpdr用克莱姆法则解dx1和dx2,21122120,:Dfff可得11122221222211221222211[()()]1[()]dxfdpdrpffdpdrpfpDfdrfdrffffdppD22111122111121[()]dxfdrfdrffffdppDr1对x1的影响20,drdp令则有12211222211(),10(0,0)dxfdrpDdxfDfdrpD即r2对x1的影响10,drdp令则有1121221()0(0,0)dxfDfdrpD若可见，上式取决于f12的符号。f12是指x2增加后对x1的边际产量的作用。f1为资本的边际产出。p对x1的影响120,drdr令则有112222111222211222111(),1[]0,0,0,0,:0dxffffdppDdxffffdppDfDffdxdp即通常为正于是有§2.短期成本函数和长期成本函数一、成本函数的定义121212(,),,,0,0,:qfxxrrxx生产函数为要素价格成本函数为12112212(,,)min()..(,)Crrqrxrxstfxxq上述最小化问题的解称为条件（产出量给定时求要素需求）要素需求函数。则成本函数为：*112(,,)xrrq**1211122212(,,)(,,)(,,)Crrqrxrrqrxrrq二、短期成本函数成本函数可表示为：12(,,)Cqrrb若生产函数为：12(,),,qfxx若要素价格给定于是()Cqb1.平均成本（AC或ATC）与边际成本（MC）的关系()CqbATCqq()qAVCq',()bdCAFCMCqqdq在平均成本的最低点,AC=MC。''2'()()(())0()()qbqqqbqqqbqqMCAC同理可证，在AVC的最低点,AVC=MC。SMCAFCTFC短期成本曲线综合图ATC切线STCAVCOQCOCQ切线TVCEFMC先通过AVC的最低点，然后再通过AC的最低点。因为当AVC最低时，AFC还在下降，AC未达到最低。2.成本函数的二阶性质'22''2222()()0()00pqqbdpqdqddCqdqdqdCdq利润最大化的一阶条件利润最大化的二阶条件说明在利润最大化的产量处边际成本是递增的三、长期成本函数若生产函数为：12(,,)qfxxk则短期成本函数可表示为：1122()STCrxrxkp、r1和r2给定时，x1和x2是q函数。此时12(,,,)()STCqrrkkr1和r2给定时，(,)()STCqkkSTC1STC2STC3LTC140300900qbcdaC厂商打算供应140T，他会选用STC1这个规模。现假设供应的产量为300T，显然在300-650T之间的范围内，第二个规模更适用。以下依次类推。A.LTC曲线代表每一产量水平上都选取一最优的生产规模，此生产规模上对应的STC曲线与LTC曲线相切。B.LTC是STC曲线的包络线。C.LTC曲线比STC平缓。长期总成本的定义：每一产量水平上所能达到的最低总成本。(,)()(,)()(,,)0CqkkCqkkGCqk令为一隐函数,(,,)(,,)0kGCqkkGCqk对求偏导,令其等于0说明当k变化时，企业充分利用了k的潜力。即找出最佳k和q的关系。由上式解得：()Cq长期成本函数例：若一组短期成本函数由下式决定：3220.040.9(11)5(1,2,)Cqqkqkk即企业在不同阶段的短期成本函数，求长期成本函数。32232(,,)0.040.9(11)5(1,2,)01000.10.040.9511kGqCkqqkqkkGqkkqCqqq§3.学习曲线和成本次可加性一、学习曲线如果厂商的生产规模并未发生变化，而其平均生产成本却长时期地连续下降，那又该如何解释呢?由于厂商能够在生产过程中不断获取有关经验，提高生产效率，因而其平均生产成本通常会随厂商累积产出的增长而下降。形成这种现象的具体原因是存在学习效应，又称为“干中学”（learningbydoing）。学习曲线的形状bACaqQABC100120160100020003000O式中AC是累积产量为Q时厂商的平均生产成本，a,b乃是大于零的常数。a的经济涵义是第一单位产出的平均成本，b则反映厂商学习效应的大小：b越大，平均成本下降的速度越快(即学习曲线越陡)，学习效应越显著；反之，平均成本下降很慢，学习曲线比较平缓，学习效应不显著。若考虑两个时期1，2。其产量分别为q1,q2。第一期的成本为C1(q1),第二期的成本为C2(q2,q1)。“学习效应”是指。即第一期的产出量越多，则第二期的生产成本会降下来。0/12qC有时学习曲线也可用要素的使用量来表示：ANL例：设有一公司，在累积产量达到20时，测得总用工为200小时；在累积产量达到40时，测得总用工时为360小时，试估计学习曲线。12200/2020360/4040LALA12/,:0.92ln(0.9)0.0152ln20.0152LL可得从L1式中解出A：0.01520.015210201015.7720AA因此，学习曲线为：0.015215.77LN1.反映规模报酬递增的若干成本变化二、成本函数的次可加性与规模报酬考虑只生产一种产品，设C(q)的为企业生产q产量的（最优）总成本。假定成本函数除零点外二阶可微。'0()0()0qFCxdxqCq其他''00,(),()qFCxCxdx固定成本边际成本可变成本（1）若对所有可能的产出量q，C''(q)0，则边际成本严格递减。（2）若对所有的产出量q1和q2，0q1q2，下式成立，则平均成本严格递减。2121()()CqCqqq（3）若对所有的产出量qi，下式成立，则成本函数严格次可加（在一个有限的产量变动范围内，共同生产一组产量的总和比分别生产它们节约成本）。11()nniiiiCqCq2.两个定理【定理1】边际成本在任何地方都递减意味着平均成本也如此。'0'02:()()()()/qqCqFCxdxdCqdFdCxdxqdqqdqqdqdFFdqqq证明''''0[0,],()()()()/.qxqCqCxCqCxdxq范围内有边际成本递减，则q点的边际成本必定是范围内边际成本最小值。于是边际成本必小于平均成本。由于边际成本递减，边际成本小于平均成本，因此，严格递减的边际成本必导致递减的平均可变成本。因此，[0,]xq'0()/0()0qdCxdxqdqdCqdqq【定理2】平均成本在任何地方都递减意味着生产是次可加的。(1)iIqq设平均成本在任何地方都递减表示：111()(),()(),()()()iiiinnniiiiiiCqCqqqCqCqqqCqCqCqqqqq两边求和:由（1）式可得到：11()()()nniiiiCqCqqCqCqq边际成本在任何地方严格递减的条件最强，意味着平均成本严格递减和严格次可加，但逆命题不一定成立。§4.利润函数和供给函数max(,)0..()pyrxxystfxy利润最大化问题：**(,)(,)yyprxxpr供给函数投入品需求函数一、利润函数的定义利润函数是下列最大值函数：(,)max(,)0..()prpyrxxystfxy(,)(,)max()pryxpyrx利润函数一定是指最大利润是存在的，且它只依赖于产出价格和要素价格。利润函数只有在规模报酬递减时才存在。假设生产技术是规模报酬递增的。最大利润为（在p和r给定时）：''()pfxrx规模报酬递增意味着：''()()(1)ftxtfxt对两边乘p，同减去：'()rtx''''''''()()[()]()(,)pftxrtxtpfxrtxtpfxrxpfxrxpr''',()xyfx因此和已使利润最大化的前提相矛盾.二、利润函数的性质:,,,(0)0,0,0,(,),:nnfRRRfprpr如果生产函数在定义域上连续严格递增且严格拟凹则对连续且有（1）对于p递增；（2）对于r递减；（3）对于(p,r)是一次齐次的(k=1)；（4）对于(p,r)是凸的；（5）当(p,r)0时，(p,r)是可导的，并且有霍太林引理：(,)(,)(,)(,)(1,2,,)iipryprpprxprinr(,)(1),0pryp按包络定理（因y已是保证利润最大的最优产出选择，因此有：）/0dydp(,)(2),0iiprxr按包络定理（因xi已是保证利润最大的最优产出选择，因此有：）/0iidxdr(3)(,)max{}max(,)(,)0(,)0..()..()1tptrtpytrxtpyrxtpyyxyxstfxystfxyk'