【第一方案】高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明第七节 数学归纳法(理)练习

用心爱心专心-1-第七节数学归纳法（理）一、选择题(6×5分＝30分)1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N*)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析：A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案：D2．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N*，n1)”时，由n＝k(k1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.答案：C3．(2011·巢湖联考)对于不等式n2＋nn＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋11＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋kk＋1，则当n＝k＋1时，k＋2＋k＋＝k2＋3k＋2k2＋3k＋＋k＋＝k＋2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．答案：D4．(2011·漯河模拟)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析：假设当n＝k(k∈N*)时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展用心爱心专心-2-开，让其出现k3即可．答案：A5．(2010·潮州二模)证明1＋12＋13＋14＋…＋12nn＋1(n1)，当n＝2时，左边式子等于()A．1B．1＋12C．1＋12＋13D．1＋12＋13＋14解析：当n＝2时，左边的式子为1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14.答案：D6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝()A.2n＋2B.2nn＋C.22n－1D.22n－1解析：由Sn＝n2an，知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝nn＋2an(n≥2)当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2∴a2＝a13＝13，a3＝24a2＝16，a4＝35a3＝110.由a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110，猜想an＝2nn＋.答案：B二、填空题(3×5分＝15分)7．在数列{an}中，a1＝13且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4猜想an的表达式是________．解析：∵a1＝13且Sn＝n(2n－1)·an，∴a1＋a2＝2×(2×2－1)×a2，∴a2＝13×5.又∵a1＋a2＋a3＝3×(2×3－1)×a3，∴a3＝15×7.用心爱心专心-3-又a1＋a2＋a3＋a4＝4×(2×4－1)×a4，a4＝17×9.猜想：an＝1n－n＋.答案：an＝1n－n＋8．(2011·绍兴月考)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1＜2(n∈N，且n＞1)，第一步要证的不等式是_____________________________．解析：n＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边＝2.答案：1＋12＋13＜29．(2011·东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．解析：本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n所拥有数对为(n－1)对．设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴n－n2＝60，∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5,7)．答案：(5,7)三、解答题(共37分)10．(12分)用数学归纳法证明下面的等式：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1nn＋2.证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·＋2＝1，∴原等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即有用心爱心专心-4-12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1kk＋2.那么，当n＝k＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1kk＋2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·k＋12[－k＋2(k＋1)]＝(－1)kk＋k＋2，∴n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)得对任意n∈N*有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1nn＋2.11．(12分)(2011·东北六校联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….(1)求a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明．解析：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝12.当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－12，于是(a2－12)2－a2(a2－12)－a2＝0，解得a2＝16.(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.①由(1)得S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.由①可得S3＝34.由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1,2,3….下面用数学归纳法证明这个结论．(ⅰ)n＝1时已知结论成立．(ⅱ)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即Sk＝kk＋1，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝12－Sk，用心爱心专心-5-即Sk＋1＝k＋1k＋2，故n＝k＋1时结论也成立．综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知Sn＝nn＋1对所有正整数n都成立．12．(13分)(2011·温州模拟)已知f(x)＝xn－x－nxn＋x－n，n∈N*，试比较f(2)与n2－1n2＋1的大小，并且说明理由．解析：f(2)＝2n－2－n2n＋2－n＝2n－12n＋1＝1－22n＋1，而n2－1n2＋1＝1－2n2＋1，∴f(2)与n2－1n2＋1的大小等价于2n与n2的大小．当n＝1时，2112；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，2332；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，2552.猜想当n≥5时，2nn2.以下用数学归纳法证明：①当n＝5时，由上可知不等式成立；②假设n＝k(k≥5，k∈N*)时，不等式成立，即2kk2，则当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k2k2，又∵2k2－(k＋1)2＝(k－1)2－20(∵k≥5)，即2k＋1(k＋1)2，∴n＝k＋1时，不等式成立．综合①②对n≥5，n∈N*不等式2nn2成立．∴当n＝1或n≥5时，f(2)n2－1n2＋1；当n＝3时，f(2)n2－1n2＋1；当n＝2或4时，f(2)＝n2－1n2＋1.