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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 企业文化 > 【第一方案】高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明第七节 数学归纳法(理)练习
用心爱心专心-1-第七节数学归纳法(理)一、选择题(6×5分=30分)1.(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是()A.假设n=k(k∈N*),证明n=k+1命题成立B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立C.假设n=2k+1(k∈N*),证明n=k+1命题成立D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立解析:A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数.答案:D2.(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1+12+13+…+12n-1n(n∈N*,n1)”时,由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析:增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k.答案:C3.(2011·巢湖联考)对于不等式n2+nn+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,12+11+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即k2+kk+1,则当n=k+1时,k+2+k+=k2+3k+2k2+3k++k+=k+2=(k+1)+1,∴当n=k+1时,不等式成立,则上述证法()A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析:在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.答案:D4.(2011·漯河模拟)用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析:假设当n=k(k∈N*)时,原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展用心爱心专心-2-开,让其出现k3即可.答案:A5.(2010·潮州二模)证明1+12+13+14+…+12nn+1(n1),当n=2时,左边式子等于()A.1B.1+12C.1+12+13D.1+12+13+14解析:当n=2时,左边的式子为1+12+13+122=1+12+13+14.答案:D6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an=()A.2n+2B.2nn+C.22n-1D.22n-1解析:由Sn=n2an,知Sn+1=(n+1)2an+1∴Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an∴an+1=(n+1)2an+1-n2an,∴an+1=nn+2an(n≥2)当n=2时,S2=4a2,又S2=a1+a2∴a2=a13=13,a3=24a2=16,a4=35a3=110.由a1=1,a2=13,a3=16,a4=110,猜想an=2nn+.答案:B二、填空题(3×5分=15分)7.在数列{an}中,a1=13且Sn=n(2n-1)an,通过计算a2,a3,a4猜想an的表达式是________.解析:∵a1=13且Sn=n(2n-1)·an,∴a1+a2=2×(2×2-1)×a2,∴a2=13×5.又∵a1+a2+a3=3×(2×3-1)×a3,∴a3=15×7.用心爱心专心-3-又a1+a2+a3+a4=4×(2×4-1)×a4,a4=17×9.猜想:an=1n-n+.答案:an=1n-n+8.(2011·绍兴月考)用数学归纳法证明1+12+13+…+12n-1<2(n∈N,且n>1),第一步要证的不等式是_____________________________.解析:n=2时,左边=1+12+122-1=1+12+13,右边=2.答案:1+12+13<29.(2011·东莞调研)已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是________.解析:本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1;4=1+3=2+2=3+1;5=1+4=2+3=3+2=4+1;…;一个整数n所拥有数对为(n-1)对.设1+2+3+…+(n-1)=60,∴n-n2=60,∴n=11时还多5对数,且这5对数和都为12,12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,∴第60个数对为(5,7).答案:(5,7)三、解答题(共37分)10.(12分)用数学归纳法证明下面的等式:12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1nn+2.证明:(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0·+2=1,∴原等式成立.(2)假设n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立,即有用心爱心专心-4-12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2=(-1)k-1kk+2.那么,当n=k+1时,则有12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1kk+2+(-1)k·(k+1)2=(-1)k·k+12[-k+2(k+1)]=(-1)kk+k+2,∴n=k+1时,等式也成立,由(1)(2)得对任意n∈N*有12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1nn+2.11.(12分)(2011·东北六校联考)设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….(1)求a1,a2;(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出严格的证明.解析:(1)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=12.当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-12,于是(a2-12)2-a2(a2-12)-a2=0,解得a2=16.(2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,Sn2-2Sn+1-anSn=0.当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.①由(1)得S1=a1=12,S2=a1+a2=12+16=23.由①可得S3=34.由此猜想Sn=nn+1,n=1,2,3….下面用数学归纳法证明这个结论.(ⅰ)n=1时已知结论成立.(ⅱ)假设n=k(k∈N*,k≥1)时结论成立,即Sk=kk+1,当n=k+1时,由①得Sk+1=12-Sk,用心爱心专心-5-即Sk+1=k+1k+2,故n=k+1时结论也成立.综上,由(ⅰ)、(ⅱ)可知Sn=nn+1对所有正整数n都成立.12.(13分)(2011·温州模拟)已知f(x)=xn-x-nxn+x-n,n∈N*,试比较f(2)与n2-1n2+1的大小,并且说明理由.解析:f(2)=2n-2-n2n+2-n=2n-12n+1=1-22n+1,而n2-1n2+1=1-2n2+1,∴f(2)与n2-1n2+1的大小等价于2n与n2的大小.当n=1时,2112;当n=2时,22=22;当n=3时,2332;当n=4时,24=42;当n=5时,2552.猜想当n≥5时,2nn2.以下用数学归纳法证明:①当n=5时,由上可知不等式成立;②假设n=k(k≥5,k∈N*)时,不等式成立,即2kk2,则当n=k+1时,2k+1=2·2k2k2,又∵2k2-(k+1)2=(k-1)2-20(∵k≥5),即2k+1(k+1)2,∴n=k+1时,不等式成立.综合①②对n≥5,n∈N*不等式2nn2成立.∴当n=1或n≥5时,f(2)n2-1n2+1;当n=3时,f(2)n2-1n2+1;当n=2或4时,f(2)=n2-1n2+1.
本文标题:【第一方案】高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明第七节 数学归纳法(理)练习
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