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《数列与数学归纳法》专题复习设计柳州地区高中黄祖应（545005）一、2000年考试说明对数列的要求：1、理解数列的有关概念。了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。2、理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。3、了解数列极限的意义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。4、了解数学归纳法原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。二、信息1、考试的重点放在继续高等教育所需要的基础知识。2、突出综合性和应用性，将出现多知识点、多层次甚至多学科的综合题型。3、从1999年开始，命题组人员主要由大学老师组成。三、近6年高考题中出现的题型、题量、分值统计1994年1995年1996年1997年1998年1999年题型题量分值题量分值题量分值题量分值题量分值题量分值选择题14152915填空题解答题15112111112226四、专题复习的目的与专题内容的确定目的：深化对基础知识、基本技能、基本方法的理解和掌握，提高解题的灵活性和综合运用知识的能力并通过适当的练习，增强应试的能力。内容：“数列”、“数列问题的综合应用”、“数学归纳法”专题讲练之一：数列复习要点：一、基础知识的深化1、数列的单调性、有界性和周期性。2、归纳等差、等比数列的性质1）等差、等比数列通项公式的推广：,)(dmnaamnmnmnqaa2）{na}是等差数列的充要条件是banan或bnanSn23)若{na}是等差（比）数列，且rpnm(m、n、p、rN),则有：rpnmaaaa（或rpnmaaaa）特别：kmmkaaa22（或22kmmkaaa）4)若{na}为等差数列，公差为d则,,,531aaa仍是等差数列，公差为2d,,,741aaa仍是等差数列，公差为3d依此类推，还可以构成许多等差数列的子数列5)对于等差数列{na}：若项数为n2（Nn），则ndSS奇偶若项数为12n（Nn），则naSS偶奇（中间项）当等差数列的项数为奇数时，中间一项既等于所有项的算术平均数，也等于奇数项或偶数项的算术平均数。6）等差（比）数列的等长连续片断的和组成等差（比）数列如：若{na}为等差（比）数列，则,,,3221222121kkkkkkkaaaaaaaaa也是等差（比）数列。二、基本技能的活用1、注意公式的变形应用如：等差数列的前n项和公式：2)(2)(2)(1121mnmnnnaanaanaanSbnanndanddnnnaSn2121)2(22)1(等比数列的前n项和公式：qqaaqqaaqqaaqqaSmnmnnnn1111)1(1121111)1(q2、掌握设元的一些技巧如：三个数成等差（比）数列，可设为daada,,（或aqaqa,,）；四个数成等差（比）数列，可设为dadadada3,,,3（或33,,,aqaqqaqa）3、记住一些小结论如：在等差数列{na}中，若mananm,,则0nma，若,,mSnSnm则)(nmSmn又如：)12)(1(6121222nnnn23332)1(21nnn三、基本方法的总结1、数列{na}成等差数列nnnnnaaadaa21112、数列{na}成等比数列)0(2111nnnnnnaaaaqaa3、等差数列{na}的前n项和的最大值为001kkkaaS4、设nS是数列{na}的前n项之和，则有:)2()1(11nSSnSannn5、数列{na}的最大项为11kkkkkaaaaa6、错位相减法、累加法及倒序相加法四、重要知识点的再现如果说首次复习的核心是夯实基础，那么本轮复习的重心将是抓住重点，使学生的数学能力有一个较大的提高。数列单元的重点除了两类特殊数列（等差、等比数列）外，就是利用na与nS的关系：)2()1(11nSSnSannn研究一般数列的性质。例题选讲例1、一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项之和为480，则中间一项为（）A、30B、31C、32D、33解法一：项数为12n,中间一项为第n+1项，设为1na则由已知(12n)1na=512+480=992，个位数为2故排除（A）两个奇数的积仍是奇数，且12n是奇数，故排除B、D而选（C）解法二：S奇=(n+1)1na=512S偶=n1na=480两式相减得：1na=32故选（C）例2：已知等差数列{na}的公差0d，且931,,aaa成等比数列，则1042931aaaaaa=———————解：931,,aaa成等比数列∴2391aaa从而2111)2()8(dadaa∴,012dad0d∴da1∴1042931aaaaaa=161313310311dada本题如果采用特殊值法，选用符合条件的数列1，2，3，…，10，可以通过心算迅速得解。例3：设{na}是首项为50，公差为2的等差数列，{nb}是首项10，公差为4的等差数列，以ka和kb为两边的矩形内的最大圆的面积为kS，如果k21，那么kS等于（）A、2)24(kB、2)12(kC、2)32(kD、2)12(kbkak易知：482kak,64kbk∴)21(0)21(2kkbakk∴kkba即kb为圆的直径这时kS=22322kbk故选（C）例4：两个等差数列{na}、{nb}的前n项之和分别为,,/nnSS且7253/nnSSnn，则_______1515ba。解一、2)(,2)(1/1nnnnbbnSaanS∴nnbbaa117253nn令,29n则有：6582291291bbaa而1515291291babbaa∴1515ba6582解二、寻找满足条件的等差数列{na}、{nb}：令86)53(nannSnn，54)72(/nbnnSnn∴1515ba6582例5：在等差数列{na}中，,12,60171aa已知nnab，求数列{nb}的前n项之和。解：数列{na}的公差3117117aad∴633)1(1ndnaan令na0得633n0解得n21∴数列{na}的前20项为负数，第20项以后的项都是非负数。设/,nnSS分别表示{na}和{nb}的前n项之和，则20n时,nnnnnSSnn21232332)1(602/当n20时,12602123232)(2202020/nnSSSSSSnnn∴)20(1260212323)20(21232322/nnnnnnSn专题讲练之二：数列的综合应用复习要点：1、数列在高中数学和实际生活中有着广泛的应用，它与函数、方程、不等式、三角、复数、立体几何和解析几何都有着密切的关系2、解答数列综合题，既要有坚实的基础知识，又要有良好的数学素质和较好的数学能力，特别是逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力3、解答数列应用性问题，关键是如何将它化为数学问题，通常分为三步：⑴阅读理解：就是读懂题目中的文字叙述，理解问题的实际背景，从背景中概括出问题的数学实质。⑵进行数学化设计：将实际问题转化为一个数学问题。⑶进行标准化设计：将数学问题转化为一个常规的数学问题加以解决，具体到本专题的内容，就是要转化为一个等差或等比数列问题来解决。4、常见有关等差、等比数列的实际问题（1）生活应用性问题：如剧场座位的设计（2）生产应用性问题：如增长率，浓度配比等（3）科技应用性问题：由实验数据，归纳实验结果，应用数列解决解析几何、立体几何中的问题例题讲解1、以函数的观点认识数列例1：等差数列中{na}，0na，前n项和为nS，且09S，010S，则n=时，nS最大。Sn910nO本题的一般解法是利用092)(95919aaaS，0)(52)(106510110aaaaS∴0521aaa，760aa故n=5时，nS最大。例2：已知无穷数列{na}的通项公式na=nnn10)1(9,试判断此数列是否有最大项？若有，求出第几项最大，若没有说明理由。解：1na-na=11110)8(910)1(910)2(9nnnnnnnnn当81n时，1nana即821aaa当8n时1na=na即98aa当8n时1nana即109aa∴8a与9a最大，最大值为891092、以方程思想指导数列运算例3：设{na}是由正数组成的等比数列，公比2q，且30321aaaa=302，那么3063aaa=________解法一：30321aaaa=3043530129121112)())((qaqaqaqaa∴1a=2272，∴3063aaa=2015510129151212)())((qaqaqaqa解法二：30321aaaa=3033303363332qaqaqa∴603030330363322qaaa∴3063aaa=202例4：已知xy2，且x、y的和x+y，差x-y，积xy，商xy能依某种顺序构成等比数列，试求此等比数列。解：xy2从而x+y、x-y、xy、xy都是正数。∴此等比数列的公比0q且1q。由等比数列的通项公式知数列必按从小到大或从大到小的顺序排列，不妨设等比数列按从小到大的顺序排列。易知：x-yx+yxy，xyx+yxy而x-y与xy无法判断大小⑴若xy、x-y、x+y、xy成等比数列，则有xyxyyxyxyxxyyx))(()()(2解得33)12(2)12(2yx故此数列为：21，2)12(21，4)12(21，6)12(21⑵若x-y、xy、x+y、xy成等比数列，则有xyxyyxyxyxxy22)())(()(从而有022xyx这显然是不可能的综合上述所求数列为：21，2)12(21，4)12(21，6)12(21或6)12(21，4)12(21，2)12(21，213、观察、试验、归纳、猜想、证明例5：在自然数集N上定义的函数)(nfy满足2)()(4)1(nfnfnf)(Nn，且2)1(f，是否存在实数a、b,使1)23(1)(banfn，对任意自然数n恒成立，并证明你的结论。由2)1(f及2)()(4)1(nfnfnf，可得21)2(f，57)3(f假设满足题意的实数a、b存在，那么21149121231baba5154ba4、重视数列中应用问题的训练例6：某种商品进价80元/个，售价100元/个，为了促进销售，拟采用每购买一件商品，赠送顾客一件价值1元的小礼品的办法，结果在单位销售周期内，销售量增加了10%，进一步实验表明，在一定范围内，礼品价值为n+1元（nN）时，比礼品价值为n元时的销售量增加了10%，在不考虑其他因素的前提下，请你为商品设计礼品价值，以求最大利润。解：设没有礼品时，单位销售周期内的销售量为m，1na表示礼品价值为n+1元时的销售量，利润为1ny，依题意有：101(1ma%），1na=na(1+10%）∴na=mn)1.01(∴ny100na-80na-nna∴1ny-ny)1.09.0(1.1nmn