12.3质心运动定理(理论力学课件)解析

§12.3质心运动定理一、质量中心质点系在力的作用下，其运动状态与各质点的质量及其相互的位置都有关系，即与质点系的质量分布状况有关。1.定义：（12.10）由式(12.10)所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一种特征质心的概念及其运动在质点系（特别是刚体）动力学中具有重要地位。mmiicrr2.质心的力学意义①若质点系中各质点的质量相等，则：1/n与i无关，为公因子。式中:ri系数1/n表示第i个质点的质量在质点系质量中所占的比例，质心的矢径rc即为各质点的平均矢径。12............ncmmmmmmrrrr（12.11）12......1ninnrrrrmmiicrr②若质点系中各质点的质量不相等。则有：icimrrmri的系数表示第i个质点的质量在质点系的质量所占的比例，质心的矢径rc为即为各质点按其质量在质点系质量中所占的比例的平均位置。③质心的作用由讨论可见，质心的位置与质点系中的质量分布状况有关，它在一定程度上反映了质点系的质量分布状况，所以质心的概念是动力学的重要概念之一。（12.12）,,(12.13)iiiiiiCCCmxmymzxyzmmm④质心的坐标计算质心位置时，常用上式在直角坐标系的投影形式，即式中mi点为第i个质点的质量，xi、yi、zi，第i个质点的位置坐标，m为质点系的质量。质心是质点系中特定的一个点，质点系运动，质心也在运动。可见，如果把质点系的质量都集中于质心做为一个质点，那么此质点的动量就等于质点系的动量，可见质心运动具有特殊意义。(12.10)icimrrm可见物体在重力场中运动时，重心与质心相重合。但应当注意，质心与重心是两个不同的概念。⑤质心与重心的比较：若将上列各式等号右端的分子与分母同乘以重力加速度g，就得到质点系的重心坐标公式。重心仅在质点系受到重力作用（即在地球表面附近）时才存在，而质心则与质点系是否受到重力作用无关，它随质点系的存在而存在。因此，质心概念的适用范围远较重心广泛。,,iiiiiiCCCmxmymzxyzmmm（12-13）或2、质心速度质心C的运动速度可根据式（12.10）导出：iiCCmddtmmvrpvciimmvv式（12.15）为计算质点系动量的简便方法。由上式可知，不论质点如何运动，在计算质点系的动量时均可不考虑其中每一质点的速度，而只需知道质点系的质量和质心的速度就足够了。（12.14）ciimmp=vv（12.15）(12.10)iiCmmrr设其角速度为w，质心C至转轴的距离为e，则由式（12.15）可知，此刚体动量的大小为例如绕定轴转动的刚体，ciimmp=vvcpmvme=显然，当刚体质心位于转轴上时，则不论转动角速度多大，其动量恒等于零。3、质心加速度将式（12.14）对时间求导，得：CCddtva(12.17)ciimmeiaaFd()d()ddddiiCmmtttvvp(12.14)iiCCmddtmmvrpvcmp=v二、质心运动定理上式表明，质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和。同时指出：内力不能改变质心的运动。eeCiiiRmmaaFF形式上，质心运动定理与质点的动力学基本方程完全相似，因此质心运动定理也可叙述如下：（12.17）质点系质心的运动，犹如一个质点的运动，此质点的质量等于整个质点系的质量，且作用于此质点上的力等于作用于整个质点系上的外力的矢量和。质心运动定理在坐标轴上投影：ecxecyeczmxFmyFmzF——质点系质量与质心加速度在某一轴上的投影的乘积等于质点系所受外力的主矢量在同一轴上的投影，该式称为投影形式的质心运动定理。实际应用时，可采用投影形式。ciimmeiaaF（12.18）（12.17）①如果三、质心运动守恒ciimmeiaaF如果作用于质点系的所有外力在某一轴上投影的代数和恒等于零。则质心沿该轴的坐标保持不变。以上结论，称为质心运动守恒定律。0eRF0cmacontc则v则质心作匀速直线运动；②若开始静止，则质心位置始终保持不变。③注意：只有外力才影响质心的运动，内力不影响质心运动，且没有外力时，质心运动守恒，原为静止的质点系保持静止。如汽车在光滑路面上发动，如果路面没有摩擦力，则轮子空转不动，即轮心不向前运动，必须要有外力才能使其运动。有很多实例都可用来说明质心的运动完全取决于作用在质点系上的外力而与内力无关。例如，人在完全没有摩擦的光滑路面上行走是不可能的；汽车开动时，发动机汽缸内的燃气压力对汽车整体来说是内力，不能使车子前进，只是当燃气推动活塞，通过传动机构带动主动轮转动，地面对主动轮作用了向前的摩擦力，而且这个摩擦力大于总的阻力时，汽车才能前进。例3设有一电动机用螺旋栓固定在水平地面上，如图，电动机外壳连同定子的质量为m1，它们的质心为c1，在转子的轴线上，转子的质量为m2。由于制造不够精确，因而其质心与转子轴线相距为e，试求当电动机以匀角速度ω转动时，螺旋栓所受的水平剪力和地面的铅垂反力。解：（1）研究整个电动机看作一个整体，受力分析如图：作用于质心上的外力有：重力m1g、m2g；螺栓的约束反力Rx、Ry。RyRx2g1mmgyecc1cx2t（2）建立静坐标如图：电动机质心C的方程为：11222212121122221212ccmxmxmxxmmmmmymymyymmmm式中：x1=y1=0，是外壳与定子的质心c1的坐标；x2、y2是转子c2的坐标。设初瞬时，c2位于x轴上，经过时间t后，转角φ＝ωt，于是有：22cossinxetyet（1）（2）RyRx2g1mmgyecc1cx2t22cossinxetyet(3)代入质心坐标公式得质心c的运动方程：212212cossinccmxetmmmyetmm22221212ccmxmyxymmmm；（1）（2）（3）RyRx2g1mmgyecc1cx2t22122212cossinccmxetmmmyetmm将质心c的运动方程等式两端微分得：212212cossinccmxetmmmyetmm（3）（4）RyRx2g1mmgyecc1cx2t(4)质心运动微分方程：2122212212cossincxcymmxmetRmmymeRmgmg从而可得到：222122cossinxyRmetRmgmgmet22122212cossinccmxetmmmyetmmRyRx2g1mmgyecc1cx2t222122cossinxyRmetRmgmgmetRx——是螺栓给电动机的水平动反力，它与电动机的角速度有关，而电动机给螺栓的剪力则与Rx等值反向。Ry—电动机在铅垂方向上所受的全反力，当Ry0时，其方向向上，它来自地面；当Ry0时，其方向向下，故知它必来自螺栓拉力，这时电动机有跳离地面的趋势所以地面未受压而不会给电动机反力。RyRx2g1mmgyecc1cx2t通过本例可知，由于机器上转子的质心不在转轴上，质心的位置要随时间而改变，因而，基座就受到了周期性压力的作用。这种随时间而作周期性变化的动压力往往引起基座的振动，以至影响机器的正常工作或损坏其零件。为防止这种现象发生，在机器的设计和安装中必须尽可能地使其转动部分的质心位于转轴，以便减小基座所受的动压力。RyRx2g1mmgyecc1cx2t习题12.19均质杆AB，长2L，铅直地静置于光滑水平面上受到微小扰动后，无初速地倒下。求杆AB在倒下过程中，点A的轨迹方程。,CN,BBmgxCy,AAoF解：以均质杆AB为研究对象，并以杆AB铅直时的轴线为y轴，建立图示坐标系。AB杆倒下过程中所受外力有：重力mg，光滑水平面的法向反力FN，杆在倒下的过程中有：0eixeRxFF即质点系动量在x方向上守恒，0ccoxx,CN,BBmgxCy,AAoF又：t=0时杆处于静止故质心运动在x方向上守恒，有：设任一瞬时，杆AB与x轴的夹角为θ，则有：sin2cosLyLxAA所以点A的轨迹方程为：142222LyLxAA即：A点沿椭圆轨迹运动。,CN,BBmgxCy,AAoF0ccoxx000xtp例1：水平光滑直线轨道上有一小车，车上站立一人。设小车重W，人重Q，开始系统静止。若人在小车上走动，解：以人和小车为质点系，受力如图运动分析：t=0时系统静止；1N2NWQvrv由受力分析可知0,conteixxFp可知xyo某瞬时人相对小车的速度为vr，试求此时的车速v？t时刻：车v，人v+vr000xtp车重W，人重Q，某瞬时人相对小车的速度为vr，试求此时的车速v？t=0时系统静止；t：车v，人v+vr1N2NWQvrv0,conteixxFp可知0xtrQWpvvvggxyorQvvQW解得：（静止）例12.7浮动起重机的质量m1＝20000kg，吊起质量为m2＝2000kg的重物，求当吊杆AB由铅垂线成60度角的位置转到与铅垂线成30度角的位置时，起重机的水平位移。吊杆长AB＝8m，吊杆重量及水的阻力均不计，又系统原为静止。xy1mg2cm2Fm1c1ggA30SdF2cd1cg2mA60解：（1）研究对象:重物和起重机组成的质点系（2）受力分析：铅垂方向上的重力m1g、m2g；作用线通过质点系质心的浮力F；xy1mg2cm2Fm1c1ggA30SdF2cd1cg2mA60（3）运动分析：因只有铅垂方向上的外力，所以力在水平方向的投影为O，所以质点系的质心C在水平方向应保持静止不动。,cocxx当吊杆转动时，由于重物有往右的水平位移，故起重机必与之相应而有往左的水平位移，设移动了一个S的水平距离。以A铰的初位置相重合的点O为原点建立坐标系oxy如图，则在初末两瞬时，质点系质心C的坐标分别为：xy1mg2cm2Fm1c1ggA30SdF2cd1cg2mA600121201212sin60()(sin30)cocmdmABxmmmdsmABsxmmxy1mg2cm2Fm1c1ggA30SdF2cd1cg2mA60式中，d为起重机质心c1与铰A的水平距离。因质心c无水平位移，从而xc=xco，故有：00122sin60sin30mmsmAB00212sin60sin300.266msABmmm1mg2cm2Fm1c1ggA30SdF2cd1cg2mA60xy0012200212sin60sin30sin60sin300.266mmsmABmsABmmm即：起重机往左移动了水平距离0.266m。因质心c无水平位移，从而xc=xco，故有：例图示的曲柄滑块机构中，设曲柄AB受力偶作用以匀角速度转动，滑块C沿x轴滑动。若AB＝BC＝l，AB及BC皆为均质杆，质量皆为m1，滑块的质量为m2。试求此系统的质心运动方程、轨迹以及此系统的动量。解：设t＝0时AB杆水平，则有f＝wt。由式（12.13），质心C的坐标为112121212322()22coscos22Cllmmmlmmxtltmmmm11121222sinsin22Clmmytltmmmm上式即为此系统质心C的运动方程。AB匀角速度转动，AB＝BC＝l，AB及BC为均质杆，质量m1，滑块的质量为m2。试求此系统的质心运动方程、轨迹以及此系统的动量。质心C的坐标为12122()cos2Cmmxltmm112sin2Cmyltmm上式即为此系统质心C的运动方程。由上二式消去时间t，得221212121(2