5-不等式约束的极值问题及其经济学应用

第5章不等式约束的极值问题及其经济学应用§5.1不等式约束极值问题数学模型的一般形式不等式约束极值问题和等式约束极值问题的主要区别在于约束条件确定的决策变量取值范围不同，即可行域不同，从而导致目标函数均衡解的位置不同，等式约束极值问题的均衡解在可行域的内点处取得，而不等式约束极值问题的均衡解可能位于可行域的端点上，那么，在这种情形下求解最优化问题需要利用库恩—塔克条件。§5.1不等式约束极值问题数学模型的一般形式令x=(x1,x2,…,xn)，f(x)和g(x)是连续的实值函数，则不等式约束的极值问题的数学模型的一般形式为：maxy=f(x1,x2,…,xn)s.t.gi(x1,x2,…,xn)≤0，i=1,2,…,m满足不等式组的x构成的集合D称为可行域，D中的点称为可行点。如果均衡解在可行域的内部则称为内部解，如果均衡解在可行域的边界上则称为角点解。§5.2简单不等式约束极值问题的图解法所谓的简单的不等式约束极值问题是指自变量个数不超过两个的极值问题。例子1：利用图解法求解下列极小化模型均衡解minC=(x1–5)2+(x2–10)25x1+4x2≤40s.t.0≤x1≤50≤x2≤10§5.2简单不等式约束极值问题的图解法首先，确定可行域（见下图）。非线性规划的目标就是从可行域内选择一点(x1*,x2*)，使其目标函数值最小。对于本题来讲，实际上就是要以(5,10)为圆心的同心圆的半径最小。x1x2O1058§5.2简单不等式约束极值问题的图解法即：这个同心圆与可行域相切。在这个切点，圆的切线斜率与直线斜率相等。所以，我们首先求圆的切线的斜率。目标函数可以重写为：(x1–5)2+(x2–10)2–C=0对其求全微分可得：2(x1–5)dx1+2(x2–10)dx2=0整理得：§5.2简单不等式约束极值问题的图解法于是有，整理得：4x1–5x2=–30与5x1+4x2=40建立方程组：4x1–5x2=–305x1+4x2=40解方程组，得均衡解：。§5.2简单不等式约束极值问题的图解法例子2：利用图解法求解下列极大化模型均衡解maxf(x,y)=x+y2x2+y2–54≤0x≥0，y≥0首先，确定可行域（见下页图）。非线性规划的目标就是从可行域内选择一点(x*,y*)，使其目标函数值最大。s.t.§5.2简单不等式约束极值问题的图解法对于本题来讲，实际就是要使得直线与坐标轴的截距最大。即：直线与可行域相切。在这个切点，椭圆切线的斜率与直线的斜率相等。§5.2简单不等式约束极值问题的图解法所以，我们首先求椭圆的切线的斜率。对椭圆求全微分，得：4xdx+2ydy=0。整理得：，于是有：与2x2+y2–54=0建立方程组得：解方程组，得均衡解：(x*,y*)=(3,6)。§5.2简单不等式约束极值问题的图解法例子3：利用图解法求解下列极大化模型均衡解maxf(x,y)=x2+y22x2+y2–54≤0x≥0，y≥0首先，确定可行域（见下页图）。非线性规划的目标就是从可行域内选择一点(x*,y*)，使其目标函数值最大。s.t.§5.2简单不等式约束极值问题的图解法对于本题来讲，实际就是要使得以(0,0)为圆心的同心圆半径最大。即：圆与可行域相切。在这个切点，椭圆切线的斜率与同心圆切线的斜率相等。§5.2简单不等式约束极值问题的图解法所以，我们首先求椭圆的切线的斜率。对椭圆求全微分，得：4xdx+2ydy=0。整理得：。然后，对圆求全微分，得：于是有x*=0，代入椭圆方程得y*=。所以，均衡解为：§5.3库恩—塔克条件一、简单不等式约束（仅存在非负约束）极值问题的库恩—塔克条件为得到一般化的不等式约束的库恩—塔克条件，我们首先来分析简单的不等式约束的库恩—塔克条件，即仅有非负约束而无其他约束。我们先来看单变量的情形：[f(x)是连续可微的]maxy=f(x)s.t.x≥0…(5-1)§5.3库恩—塔克条件由于约束条件x≥0，因此说模型(5-1)式的最优解可能会存在三种情况：第一种情况：y的极大值对应的均衡解x*出现在可行域的内部。在这种情况下，一阶必要条件为：AOyxx*§5.3库恩—塔克条件第二种情况：y的极大值对应的均衡解x*出现在可行域的边界上，但仍能保证一阶必要条件。在这种情况下，一阶必要条件为：且：x*=0BOyxx*§5.3库恩—塔克条件第三种情况：y的极大值对应的均衡解x*出现在可行域的边界上，但不能保证一阶必要条件。在这种情况下，一阶必要条件为：且：x*=0COyxx*D§5.3库恩—塔克条件从上面的讨论来看，模型(5-1)问题的极大值点存在的必要条件是如下三个条件之一：f’(x*)=0，且x*0[A点]f’(x*)=0，且x*=0[B点]f’(x*)0，且x*=0[C点或D点]这三种情况可概括为如下的统一的论述：f’(x*)≤0，x*f’(x*)=0，且x*≥0。§5.3库恩—塔克条件那么，这一论述即为模型(5-1)问题在x*处取得极大值的一阶必要条件，即：f’(x*)≤0x*f’(x*)=0x*≥0即为模型(5-1)最优化问题的库恩—塔克条件。§5.3库恩—塔克条件将模型(5-1)推广至多变量的情形（但仍然只存在非负约束而无其他约束），则模型(5-1)的最优化问题可写为：maxy=f(x)s.t.x≥0其中：x=(x1,x2,…,xn)，f(x)为连续可微函数。则在x*处取极大值的库恩—塔克条件为：x*x*xix*(5-2)…§5.3库恩—塔克条件同样，我们也可以研究非负约束的极小值问题。miny=f(x)s.t.x≥0同样，最优解也可能会存在三种情况：我们还是先来看单变量的情形：…(5-3)§5.3库恩—塔克条件则模型(5-3)问题在x*处取得极小值的一阶必要条件可写为：f’(x*)≥0x*f’(x*)=0x*≥0亦即其为模型(5-3)最优化问题的库恩—塔克条件。§5.3库恩—塔克条件同样，将模型(5-3)推广至多变量的情形（但仍然只存在非负约束而无其他约束），则模型(5-3)的最优化问题可写为：miny=f(x)s.t.x≥0其中：x=(x1,x2,…,xn)，f(x)为连续可微函数。则在x*处取极小值的库恩—塔克条件为：x*x*xix*(5-4)…§5.3库恩—塔克条件二、简单的不等式约束（不局限于仅存在非负约束）极值问题的库恩—塔克条件前面的分析，我们仅仅是考虑了非负约束而未考虑其他约束，下面我们就开始研究考虑不等式约束效应的情形，即本章开头给出的一般化的模型。我们仍然从简单的情形入手。§5.3库恩—塔克条件1.两变量一约束极值问题的库恩—塔克条件两个变量一个约束条件的极值问题可写为：maxy=f(x1,x2)s.t.g(x1,x2)≤0在约束条件中引入松弛变量s，则(5-5)可写为：…(5-5)maxy=f(x1,x2)s.t.g(x1,x2)+s=0s≥0…(5-6)§5.3库恩—塔克条件由(5-6)可知，在松弛变量s的帮助下，不等式约束问题就变成了相应的等式约束问题，如果没有非负约束s≥0，我们就可以通过构造Lagrange函数的方法来求解最优值问题。不管怎样，我们先来构造Lagrange函数：L(x1,x2,λ,s)=f(x1,x2)+λ[–g(x1,x2)–s]必须要注意的是：s.t.s≥0§5.3库恩—塔克条件这样一来，求解原不等式约束极值问题(5-5)就变成了求解仅带有非负约束的Lagrange函数的极值问题，即(5-5)等价于：maxL(x1,x2,λ,s)=f(x1,x2)+λ[–g(x1,x2)–s]s.t.s≥0即为前述(5-2)式的情形。…(5-7)§5.3库恩—塔克条件假设这一非负约束极大值问题的均衡解为（x1*,x2*,λ*,s*），那么根据(5-2)式，我们就可以写出其在（x1*,x2*,λ*,s*）处取得极大值的库恩—塔克条件。但需要注意的是，由于(5-7)式仅对变量s有非负约束，所以其库恩—塔克条件为：§5.3库恩—塔克条件对(5-7)式的L在s*处求导可得：于是，该问题库恩—塔克条件中的可写为：…(5-8)§5.3库恩—塔克条件对(5-7)式的L在λ*处求导可得：于是，(5-8)式可写为：…(5-9)§5.3库恩—塔克条件所以，(5-5)式这一极大化问题的库恩—塔克条件可概括为：§5.3库恩—塔克条件如果模型(5-5)式中的决策变量也有非负约束，即：maxy=f(x1,x2)s.t.g(x1,x2)≤0x1≥0,x2≥0构造Lagrange函数：L(x1,x2,λ,s)=f(x1,x2)+λ[–g(x1,x2)–s]必须要注意的是：s.t.s≥0,x1≥0,x2≥0…(5-10)§5.3库恩—塔克条件同样，求解不等式约束极值问题(5-10)就变成了求解带有非负约束的Lagrange函数的极值问题，即(5-9)等价于：maxL(x1,x2,λ,s)=f(x1,x2)+λ[–g(x1,x2)–s]s.t.s≥0,x1≥0,x2≥0即亦为前述(5-2)式的情形。…(5-11)§5.3库恩—塔克条件假设这一非负约束极大值问题的均衡解为（x1*,x2*,λ*,s*），注意(5-11)式对变量s、x1*、x2*均有非负约束，所以其库恩—塔克条件为：§5.3库恩—塔克条件类似于(5-8)式→(5-9)式的变换过程和结果，有：§5.3库恩—塔克条件所以(5-10)式这一极大化问题的库恩—塔克条件可概括为：§5.3库恩—塔克条件事实上，无论是(5-5)式还是(5-10)式极大值问题库恩—塔克条件的最终结果中都不含有s，s仅是一个中间辅助变量，所以在实际问题的分析中，在构造Lagrange函数时我们不再引入s，直接构造如下形式的Lagrange函数[(5-10)式]：L(x1,x2,λ)=f(x1,x2)+λ[–g(x1,x2)]由于前述(5-10)式极大值问题库恩—塔克条件与s无关，所以，以(5-12)式建立的Lagrange函数得到的库恩—塔克条件与前述完全一致。…(5-12)§5.3库恩—塔克条件不过，我们还可以进行适当变换。根据(5-12)式，可得，所以(5-10)式极大值问题库恩—塔克条件可写为：§5.3库恩—塔克条件举个例子：求下列最优化问题的可能极值点maxf(x,y)=x+ys.t.2x2+y2–54≤0x≥0,y≥0解：构造Lagrange函数L(x,y,λ)=x+y+λ(54–2x2–y2)则均衡解(x*,y*,λ*)满足的库恩—塔克条件为：§5.3库恩—塔克条件求解库恩—塔克条件的基本出发点是先从判断λ开始，即从λ=0和λ0两种情况开始判断，然后找到同时满足库恩—塔克条件的解。§5.3库恩—塔克条件2.n变量m约束极值问题的库恩—塔克条件n个变量m个约束条件的极值问题可写为：maxy=f(x)s.t.gj(x)≤0，j=1,2,…,m其中：x=(x1,x2,…,xn)f(x)和g(x)是连续可微函数。…(5-13)§5.3库恩—塔克条件构造Lagrange函数：L(x,λ1,λ2,…,λm)=f(x)+λ1[–g1(x)]+λ1[–g2(x)]+…+λm[–gm(x)]m=f(x)–Σλj[gj(x)]j=1库恩—塔克条件为：x*x*x*x*x*λ*λ*λ*§5.3库恩—塔克条件如果(5-13)式还存在决策变量的非负约束，则均衡解的库恩—塔克条件为：x*x*x*x*λ*λ*λ*λ*§5.3库恩—塔克条件举个例子：求下列最优化问题的可能极值点maxf(x,y)=x(10–x)+y(10–y)s.t.5x–4y≤40x≤5y≤10x≥0,y≥0§5.3库恩—塔克条件★如果是极小值问题呢，库恩—塔克条件是？——一个简单的处理方法是将它转化为极大值问题，而且将不等式约束均转化为“≤”。举个例子：minC=(x–4)2+(y–4)2s.t.2x+3y≥6–3x–2y≥–12x≥0,y≥0§5.3库恩—塔克条件解：首先，极小值问题转化为极大值问题max–C=–(x–4)2–(y–4)2s.t.–2x–3y≤–63x+2y≤12x≥0,y≥0构建拉格L=–(