近世代数练习题题库

§1第一章基础知识1判断题：1.1设A与B都是非空集合，那么BAxxBAx且。（）1.2A×B=B×A（）1.3只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。（）1.4如果是A到A的一一映射,则[(a)]=a。()1.5集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。（）1.6设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。（）1.7在整数集Z上，定义“”：ab=ab(a,b∈Z)，则“”是Z的一个二元运算。（）1.8整数的整除关系是Z的一个等价关系。()2填空题：2.1若A={0,1},则AA=__________________________________。2.2设A={1，2}，B={a，b}，则A×B=_________________。2.3设={1,2,3}B={a,b},则AB=_______。2.4设A={1,2},则AA=_____________________。2.5设集合1,0,1A；2,1B，则有AB。2.6如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1。2.7设A=｛a1,a2,…a8｝，则A上不同的二元运算共有个。2.8设A、B是集合，|A|＝|B|＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。2.9设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个.2.10设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个.2.11设A={a,b,c,d,e}，则A的一一变换共有______个.2.12集合A的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。2.13设A=｛a,b,c｝，那么A的所有不同的等价关系的个数为______________。2.14设～是集合A的元间的一个等价关系，它决定A的一个分类：ba,是两个等价类。则ba______________。2.15设集合A有一个分类，其中iA与jA是A的两个类，如果jiAA，那么jiAA______________。2.16设A=｛1,2,3,4,5,6｝，规定A的等价关系～如下：a～b2|a-b，那么A的所有不同的等价类是______________。2.17设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合，～是M上的合同关系，则由～给出M的所有不同的等价类的个数是______________。2.18在数域F上的所有n阶方阵的集合Mn（F）中，规定等价关系~:A~B秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。2.19设M100(F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M100(F)中规定等价关系~如下：A~B秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。2.20若M={有理数域上的所有3级方阵},A,BM,定义A~B秩(A)=秩(B),则由”~”确定的等价类有_____________________个。3证明题：3.1设是集合A到B的一个映射，对于Aba,，规定关系“~”：)()(~baba．证明：“~”是A的一个等价关系．3.2在复数集C中规定关系“~”：||||~baba．证明：“~”是C的一个等价关系．3.3在n阶矩阵的集合)(FMn中规定关系“~”：||||~BABA．证明：“~”是)(FMn的一个等价关系．3.4设“~”是集合A的一个关系，且满足：（1）对任意Aa，有aa~；（2）对任意Acba,,，若,~,~caba就有cb~．证明：“~”是A的一个等价关系．3.5设G是一个群，在G中规定关系“~”：ba~存在于Gg，使得aggb1．证明：“~”是G的一个等价关系．第二章群论1判断题：§2.1群的定义.1.1设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：(A)G对于这个乘法运算都是封闭的；(B)a,b,cG，都有(ab)c=a(bc)成立；(C)存在G，使得aG，都有ea=a成立；(D)aG，都存在aG，使得aa=e成立。则G关于这个乘法运算构成一个群。()1.2设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：A）G对于这个乘法运算是封闭的；B）a,b,cG，都有（ab）c=a(bc)成立；C）存在erG，使得aG，都有aer=a成立；D）aG，都存在a1G，使得a1a=er成立。则G关于这个乘法运算构成一个群。（）1.3设G是一个非空集合,在G中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G对乘法运算是封闭的(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消去律,则G构成群。()1.4设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1).G对乘法运算是封闭的;(2).乘法适合结合律与消去律,则G对所给的乘法构成一个群。()1.5实数集R关于数的乘法成群。（）1.6若G是一个n阶群,aG,|a|表示a的阶,则|a|。()1.7若|a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。1.8设Q为有理数集，在Q上定义二元运算“”，ab=a+b+ab(),(,,QQba则)构成一个群。（）§2.2变换群、置换群、循环群1.9一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（）1.10一个集合A的所有变换作成一个变换群G.()1.11集合A的所有的一一变换作成一个变换群。（）1.12素数阶群都是交换群。（）1.13p（p为质数）阶群G是循环群．（）1.14素数阶的群G一定是循环群.()1.153次对称群3S是循环群。（）1.16任意群都同构于一个变换群．（）1.17有限群都同构于一个置换群。()1.18任何一个有限群都与一个循环群同构。（）1.19在5次对称群5S中，(15)(234)的阶是6.()1.20在4次对称群S4中，（12）（324）的阶为6。（）1.21在5S中，(12)(345)的阶是3。()1.22任意有限群都与一个交换群同构。（）1.23因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。（）1.246阶群是交换群。（）。1.254阶群一定是交换群。（）1.264阶群一定是循环群。（）1.27循环群一定是交换群。（）1.28设G是群，a,b∈G,|a|=2,|b|=3,则|ab|=6。（）1.2914阶交换群一定是循环群。（）1.30如果循环群aG中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（）1.31有理数加群Q是循环群。（）1.32若一个循环群G的生成元的个数为2，则G为无限循环群。（）§2.3子群、不变子群。1.33若H是群G的一个非空子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群。（）1.34若H是群G的一个非空有限子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群。（）1.35循环群的子群也是循环群。（）1.36如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（）1.37一个阶是11的群只有两个子群。（）1.38有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。（）1.39设G是一个n阶群，m|n，则G中一定有m阶子群存在。（）1.40若G是60阶群,则G有14阶子群。()1.41设G是60阶群，则G有40阶子群。（）1.42阶为100的群一定含25阶元。（）1.43阶为100的群一定含25阶子群。（）1.44阶为81的群G中，一定含有3阶元。（）1.45设H是群G的一个非空子集，则HHHGH1。（）1.46设H是群G的一个非空子集，则HHHGH1。（）1.47群G的子群H是不变子群的充要条件为HHggHhGg1;,。（）1.48群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个数相等.（）1.49指数为2的子群不是不变子群。（）1.50若NH,HG，则NG。()1.51若N是群G的不变子群,N是群N的不变子群,则N是G的不变子群。()1.52设H≤G，K≤G，则HK≤G。（）1.53若NN，HG那么NHG。（）§2.4商群、群的同态定理。1.54群之间的同态关系是等价关系。（）1.55循环群的商群是循环群。（）1.56设f：GG是群G到群G的同态满射，a∈G，则a与f(a)的阶相同。（）1.57设G是有限群，H≤G，则||||||HGHG。（）1.58若是群G到G的同态满射，N是G的一个不变子群，则（N）是G的不变子群，且NG)(NG。()1.59设f是群G到群G的同态映射，HG，则f(H)G。（）1.60设f是群G到群G的同态映射，H≤G则f(H)≤G。（）1.61若是群G到的一个同态满射,N是G的一个不变子群,则(N)是的不变子群,且~。1.62若是群G到的同态满射,是的一个不变子群,()表示N的原象,则()是G不变子群,且。()1.63设G和G都是群，GG,GN,N=1(N)，则NG,且NGNG//。（）2填空题：2.1在群G中，a，b∈G，a2=e，a－1ba=b2，则|b|=_________________。2.2在交换群G中，a，b∈G，|a|=8，|b|=3，则|a－2b|=_________________。2.3设a是群G的元,a的阶为6，则a4的阶为___________________。2.4设a是群G中的一个8阶元,则a的阶为________。2.5设G是交换群，a、bG,|a|=5,|b|=7,则|ab|=_____________。2.6群AG中有_____个1阶元。2.7在S5中，4阶元的个数为_____________。2.8在S4中，3阶元的个数为_____________。2.9设G为群，aG，若12a，则8a_______________。2.10设群G=｛e，a1，a2，…，an-1｝，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n=___.2.11若a,b是交换群G中的5阶元和72阶元,则ab的阶为____________。2.12在整数加群Z中，4∩6=_________________。2.1310阶交换群G的所有子群的个数是_________________。2.14阶数最小的非交换群的阶数是_________。一个有限非可换群至少含有____________个元素.2.15任意群G一定同构于G的一个_____________。2.16n次对称群Sn的阶是_______。2.179-置换728169345987654321分解为互不相交的循环之积是_______。2.18n阶有限群G一定_____________置换群。2.19每一个有限群都与一个__________群同构。2.20已知1234531254为5S上的元素，则1＝__________。2.21给出一个5-循环置换)31425(，那么1_________________。2.22在4次对称群S4中，(134)2(312)-1=______.2.23在4次对称群S4中，（24）（231）＝_____________，（4321）－1＝_____________，（132）的阶为_____________。2.24在6次对称群S中,(1235)(36)=____________。2.25(2431)1=__________。2.26设群G的元a的阶是n，则ak的阶是________.2.27设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为______。2.28已知群G中的元素a的阶等于50，则4a的阶等于_____________。2.29设()Ga为循环群，那么（1）若a的阶为无限，则G同构于___________，（2）若a的阶为n，则G同构于____________。2.30若群G是一个6阶循环群,则G与（模6剩余类同构）____________________