2.3.1-2直线和平面所成角上课用

书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奋，努力才能成功！2020年2月25日星期二2.3直线、平面垂直的判定和性质2.3.1-2直线和平面所成的角AaOP如图,点Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是点P到平面的垂线段pQ过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影；这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。一.斜线在平面内的射影１.垂线、斜线、射影(１)垂线点P在平面内的射影线段PQ（2）斜线一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线．斜线和平面的交点叫做斜足。从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段PR说明：①平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条思考：平面外一点到一个平面的垂线段有几条？斜线段有几条？PRQST如图：＿＿＿＿是斜线AC在内的射影，线段BC是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．(３)射影直线BC斜线段AC在内的射影ACBFE说明：②斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？思考：①从平面外一点向这个平面引的垂线段和斜线段，它们的射影和线段本身之间有什么关系？②从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE…中，那一条最短？ACBDE垂线段比任何一条斜线段都短如图，AO是平面的垂线段，AB、AC是平面的斜线段，OB、OC分别是______________________，则有ACBOOB=OCOB＞OCAB=ACAB＞ACAB、AC在平面内的射影AB=ACAB＞ACOB=OCOB＞OCACBO从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短2．射影长定理练习1：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）AB1在平面ABCD上的射影（2）AB1在平面BB1C1C上的射影（3）AB1在平面ADD1D上的射影A1D1C1B1ADCB直线AB直线BB1直线AA1o（4）AB1在平面BB1D1D上的射影直线B1O练习2判断下列说法是否正确（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线（）（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线（）（3）两条异面直线在同一平面内的射影要么是平行直线，要么是相交直线（）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等（）2、过点为连则则边点则0ΔABC所在平面α外一P,作PO⊥α,垂足O,接PA,PB,PC.1).若PA=PB=PC,O是ΔABC的_____心.2).若PA=PB=PC,∠C=90,O是AB的__.*3).若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,O是ΔABC的_____心.外中垂巩固练习：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形ABC的外心已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的垂心DOPADBCPPOPABCPOBCPA平面已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的内心OEF典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O(1)P到三顶点距离相等(3)P到三边AB、BC、AC距离相等(2)侧棱两两垂直外垂内O是ABC的心O是ABC的心O是ABC的心对棱两两垂直例：四面体P-ABC中，ACPBBC,PAABPC求证：若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直O是垂心垂O是ABC的心PAO三、直线和平面所成的角：1、如图所示，一条直线PA和平面相交，但不垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足o和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。斜线斜足射影规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角直线和平面所成角的范围是[0，90]3、如何作出直线与平面所成的角?过直线与平面交点外任意一点,作平面的垂线,则斜足与垂足之间的连线AO与直线PA之间所成的锐角(直角或零角)就是直线与平面所成的角.前面还学过一个什么角?它的范围是什么?两条异面直线所成的角,(00,900]PAO直线与平面所成角斜线与平面所成角2、注意:(0,90)[0,90]4、求斜线与平面所成的角一般步骤（三步曲）（1）作图。作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成的锐角）。作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线。（2）证明。证明某平面角就是斜线和平面所成的角。（3）计算。通常在垂线段，斜线段和射影所组成的直角三角形中计算。PP1Q一“作”二“证”三“计算”关键：确定斜线在平面内的射影.例2:如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求(1)直线A1B与平面ABCD所成的角;(2)直线A1B与平面BCC1B1所成的角;(3)直线BD1与平面AD1所成的角的正切值.ABCDA1B1C1D1例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求(4)直线A1B和平面A1B1CD所成的角.ABCDA1B1C1D1O练习1：E解：连结A1C1，交B1D1于E则A1C1⊥B1D1，即A1E⊥B1D1连结BE，则练习2:如图,在长方体ABCD－A’B’C’D’中，AA’=3,AB=4,BC=5,求直线A’C和平面ABCD所成的角的正弦值．ＣＡ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’ＡＢＤ例3分析：例346练习、如图，正四面体A-BCD的棱长为a，E为AD的中点，连结CE（1）求证：顶点A在底面BCD内射影是△BCD外心BCDAO练习、如图，正四面体A-BCD的棱长为a，E为AD的中点，连结CE（2）求AD与面BCD所成的角的余弦值BCDAO练习、如图，正四面体A-BCD的棱长为a，E为AD的中点，连结CE（3）求CE与面BCD所成角的正弦值BCDAOEFBCDAOE１、垂线、斜线、射影2、射影长定理二、直线和平面所成的角２、定理及推论一、斜线在平面内的射影１、定义小结ACBO从平面外从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短2．射影定理平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所这条直线和这个平面所成的角成的角。１.直线和平面所成的角定义ABOAB内的射影在是AOBO所成的角与是AOAOB推论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。２.定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。3、直线和平面所成的角的步骤：一“作”二“证”三“求”课后研究：请说出下列各角的范围•1、两条相交直线的夹角．•2、直线的倾斜角．•3、两条异面直线所成的角．•4、任意两条直线所成的角．•5、两个向量的夹角．•6、斜线和平面所成的角．