(修改)数字滤波器的设计

内容提要本章主要介绍IIR数字滤波器和FIR数字滤波器的常用设计方法，简单介绍智能仪器仪表中常用的数字滤波算法。第一节概述一个数字滤波器可以用一个N阶差分方程来描述，即01()()()MNrkrkynbxnraynk（7-1）或者以它的系统函数H(z)来描述01()1MrrrNkkkbzHzaz（7-2）第一节概述数字滤波器的设计大致包括以下4个步骤：1）根据任务需要，确定数字滤波器应达到的性能指标，如通带截止频率、阻带截止频率、通带起伏等。此外还必须确定采样周期T或采样频率。2）确定数字滤波器的系统函数H(z)或h(n)，使其频率特性满足技术指标要求。pssF第一节概述3）用一个有限精度的运算去实现H(z)或h(n)，包括选择合理的网络结构、恰当的有效字长，以及有效数字的处理方法等。4）确定工程实现方法。用实际数字系统（通用计算机软件或专用数字滤波器硬件）实现H(z)或h(n)。数字滤波器设计设计IIR数字滤波器的方法可以归纳为两类：(一)模拟——数字转换法(二)是直接设计法利用模拟滤波器成熟的理论和方法来设计IIR数字低通滤波器的设计过程是：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传递函数，再按一定的转换关系将转换成数字低通滤波器的系统函数。这样设计的关键问题就是寻找这种转换关系，将S平面上的转换成Z平面上的。为了保证转换后的稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：)(sH)(sH)(zH)(sH)(zH)(zH1）因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。模拟滤波器因果稳定要求其传递函数的极点全部位于S平面的左半平面；数字滤波器因果稳定则要求的极点全部在单位圆内。因此，转换关系应是S平面的左半平面映射至Z平面的单位圆内部。2）数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频率响应，S平面的虚轴映射为Z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。将传递函数从S平面转换到Z平面的方法有多种，工程上常用的是冲激响应不变法和双线性变换法。)(sH)(zH)(sH数字低通滤波器二数字高通、带通和带阻滤波器的设计三一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应h(n)等于模拟滤波器的单位冲激响应的等间隔采样。即()()|()atnTahnhthnT（7-3）式中，T为采样间隔。设模拟滤波器只有单阶极点（若有多重极点，则求拉氏反变换会复杂一些），且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将用部分分式表示()aHs()aHsNiiiassAsH1（7-4）一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器其中，为的单阶极点。将进行拉氏反变换得到is()aHs()aHs()aht1()()iNstaiihtAeut式中，是单位阶跃函数。对进行等间隔采样，采样间隔为T，得到()ut()aht1()()()iNsnTaiihnhnTAeunT对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H（z）11()1iNisTiAHzez（7-5）一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器对比式（7-4）与式（7-5），在S平面上的极点，根据的关系映射为在Z平面上的极点，系数不变化。模拟信号的傅里叶变换和其采样信号的傅里叶变换之间的关系sHaissTzeHzisTeiAthaaHjsht()sHj1()()saskHjHjjkT（7-6）一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器将代入上式，得sj1saskHsHsjkT（7-7）因为数字滤波器的系统函数是由采样信号得来的，因此有sht1()sTaszekHzHsjkT（7-8）上式表明将模拟信号的拉氏变换在S平面上沿虚轴按照周期延拓后，再映射到Z平面上，就得H（z）。tha2sT一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器设sjjzre即TreT（7-9）由第三章的知识可知，S平面的虚轴（）映射成Z平面的单位圆（r＝1），S平面左半平面（）映射到Z平面的单位圆内（），S平面右半平面（）映射到Z平面的单位圆外（）。这说明如果因果稳定，转换后得到的H（z）仍是因果稳定的。001r01rsHa一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器另外，注意到是一个周期函数，可写成sTez2jMTsTTjTTTeeeee，M为任意整数当模拟频率从变化到时，数字频率则从变化到，且按照式（7-9），，即与之间成线性关系。但是，从模拟信号到采样信号，其拉氏变换要按照式（7-7），以为周期，沿虚轴方向进行周期化。如果原模拟信号的频带不是限于之间，则会在的奇数倍附近产生频率混叠，从而映射到Z平面，在附近产生频率混叠。冲激响应不变法的频率混叠现象如图7-1所示。TTTthashtT2thaT/T/一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器这种频率混叠现象会使设计出的数字滤波器在附近的频率特性，程度不同地偏离模拟滤波器在附近的频率特性，严重时使数字滤波器不满足给定的技术指标。为此，希望设计的滤波器是带限滤波器，如果不是带限的，例如高通滤波器、带阻滤波器，需要在高通带阻滤波器之前加保护滤波器，滤除高于折叠频率以上的频带，以免产生频率混叠现象。但这样会增加系统的成本和复杂性，因此，高通与带阻滤波器不适合用这种方法设计。O()aHjT2T2TTO()jHe2233T......图7-1冲激响应不变法的频率混叠现象T/一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器假设没有频率混叠现象，即满足()sHj()aHj＝0，T按照式（7-8），并将关系式，代入，得sjT1,jajHeHTT说明用冲激响应不变法设计的数字滤波器可以很好地重现原模拟滤波器的频响。上式中，的幅频特性与采样间隔成反比，这样当T较小时，就会有太高的增益。为避免这一现象，令，那么jHejHenTThnha一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器此时，综上所述，冲激响应不变法的优点是频率坐标变换是线性的，即，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频率特性。另一个优点是数字滤波器的单位冲激响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好。缺点是会产生频率混叠现象，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。NiTsizeTAzHi111,jajHeHTT一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器例7-1已知模拟滤波器的传递函数为用冲激响应不变法将转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解：首先将写成部分分式极点为，那么H（z）的极点为，sHa7079.06449.05012.02sssHasHa7772.03224.03224.07772.03224.03224.0jsjjsjsHa7772.03224.01js7772.03224.02jsTsez11Tsez22一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器按照式（7-5），经过整理，得到式中，T是采样间隔，T的选取应按照滤波器最高截止频率的2倍以上选取，若T选取过大，则会使附近频率混叠现象严重。这里选取T＝1s和T＝0.1s两种情况，以便进行比较。设T＝1s时用表示，T＝0.1s时用表示，则0.3224T110.3224T0.644922e0.3224sin0.7772TzHz12zecos0.7772Tez11120.327611.03290.5247zHzzzzH1zH2一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器它们的幅频特性如图7-2所示。图7-2a表示模拟滤波器的幅频特性，图7-2b表示T＝1s，转换成数字滤波器的幅频特性，图7-2c表示T＝0.1s，转换成数字滤波器的幅频特性。很明显，T＝0.1s时，它的幅频特性和模拟滤波器的幅频特性很近似，只是在折叠频率附近有很轻的混叠现象。而对于T＝1s情况，频率混叠现象很严重。12120.004811.93070.9375zHzzz一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器a）b)一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器也可以利用MATLAB的函数impinvar实现冲激响应不变法模拟到数字的滤波器转换。c)图7-2例7-1的幅频特性二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器冲激响应不变法的主要缺点是会产生频率混叠现象，使数字滤波器的频响偏移模拟滤波器的频响。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个S平面频率轴上的频率范围压缩到之间，再用转换到Z平面上。设，，经过非线性频率压缩后用，表示，这里用正切变换实现频率压缩：TsTezsHasj1sHa11sj121tan2TT（7-10）二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器式中，T是采样间隔，当从经过0变换到时，则由经过0变换到，实现了S平面上整个虚轴完全压缩到平面上的虚轴的之间的转换。这样便有再通过转换到Z平面上，得到1TT1ST111212121sTsTesthTTTe（7-11）Tsez111112zzTssTsTz22（7-12）（7-13）二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器式（7-12）或式（7-13）称为双线性变换。从S平面映射到平面，再从平面映射到Z平面，其映射过程如图7-3所示。由于从S平面到平面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混叠现象，这是双线性变换法比较冲激响应不变法最大的优点。另外，从平面转换到Z平面仍然采用标准转换关系，平面的之间水平带的左半平面映射到Z平面单位圆内部，虚轴映射成单位圆。这样，当因果稳定，转换成的H（z）也是因果稳定的。1S1S1S1STsez11STsHa二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器下面分析模拟频率和数字频率之间的关系。令，，代入式（7-12）中，有S平面Re(z))Im(zjO11OT/T/1j1j1S平面OZ平面图7-3双线性变换法的映射关系sjjze22jjTejT2tan2T（