【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第三章 第八节应 用 举 例

第八节应用举例1.三角形中常用的面积公式(1)S=ah(h表示边a上的高).(2)S=bcsinA=________=_________.(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).1212121absinC21acsinB22.实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_____的角叫仰角，在水平线____的角叫俯角(如图①).上方下方(2)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).(3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③)(i)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向；(ii)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向；(iii)南偏西等其他方向角类似.(4)坡角与坡度①坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度).坡度又称为坡比.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)面积公式中其实质就是面积公式(h为相应边上的高)的变形.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为［0,］.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()(4)方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是［0,).()111SbcsinAabsinCacsinB222，111Sahbhch22222【解析】(1)正确.如即为边a上的高.(2)错误.俯角是视线与水平线所构成的角.(3)正确.方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置关系的.(4)正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为［0,2π)，而方向角大小的范围由定义可知为［0,).答案:(1)√(2)×(3)√(4)√11SabsinCahhbsinCh2221.在△ABC中,A=AB=1,AC=2,则S△ABC的值为()【解析】选C.由已知得A=AB=c=1,AC=b=2,,313AB1CD322,3ABC1133SbcsinA21.22222.在△ABC中,则cosA等于()【解析】选D.由已知得ABC2AC5,AB2,S2，525525ABCD5555ACb5,ABc2,ABC2212SbcsinA,2221252sinA,22525sinA.cosA1sinA.55得，即故3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的方向为()(A)北偏西5°(B)北偏西10°(C)北偏西15°(D)北偏西20°【解析】选B.由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.4.已知A，B两地的距离为10km,B，C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°，则A，C两地的距离为______km.【解析】如图所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700，∴AC=(km).答案:1071075.某运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米(如图所示)，则旗杆的高度为____米.106【解析】如图所示，依题意可知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,∴∠EAC=180°-45°-105°=30°.即旗杆的高度为30米.答案:30CEAC,sinEACsinCEACEACsinCEA203sinEACRtABC3ABACsinACB20330.2由正弦定理可知米，在△中，米考向1与三角形面积有关的问题【典例1】(1)已知O为△ABC内一点，满足则△OBC的面积为()(2)(2013·衡阳模拟)在△ABC中，若A=30°，b=2，且则△ABC的面积为()OAOBOC0，ABAC2BAC3，且，1332ABCD232322BABCAB0，A23B3C1D2(3)(2013·北京模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，角A是锐角，且①求角A的度数;②若a=7，△ABC的面积为求△ABC的周长.3b2asinB.103,【思路点拨】(1)先确定O点的位置，可知O为△ABC的重心，再利用向量关系求得△ABC面积即可求得S△OBC.(2)利用已知条件求边a,b,角C，即可求得面积.(3)利用正弦定理得角A，再利用余弦定理得b+c，从而可求周长.【规范解答】(1)选B.可知O为△ABC的重心，由得c·bcos∠BAC=2,OAOBOC0由，OBCABC1SS,3故ABAC2ABCOBCABC1cosBAC,bc4,2113SbcsinBAC43,22213SS.33又故故(2)选B.方法一:由正弦定理得2sinAcosB=sinC=sin(A+B),得2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，故sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,222BABCAB02cacosBc2acosBc.由得，即又A,B是△ABC的内角,故A-B=0,∴A=B,∴a=b=2,∵A=30°,∴B=30°,∴C=120°.由S△ABC=absinC得S△ABC=1213223.22方法二：由余弦定理得，即a=b=2,∴A=B,又A=30°,∴B=30°,∴C=120°.222222222acb2acacbc,ab,2ac，即ABC113SabsinC223.222(3)①由已知得由正弦定理得又A为锐角,故②由余弦定理得即b2+c2-49=bc,由得bc=40,故b2+c2=89，得(b+c)2=169,又b＞0，c＞0,∴b+c=13.故△ABC的周长为20.absinB32，absinAsinB3sinA.2A.3222bcacosA2bc，1bcsinA1032，【互动探究】若将本例题(1)中“”修改为“O为△ABC中线AD的中点”，其他条件不变，则△OBC的面积又该如何求解?【解析】由得cbcosA=2,OAOBOC0ABAC2ABCOBCABC1BAC,cosBAC,bc4,321SbcsinBAC3.2OABCAD,13SS.22△△△又＝又为△中线的中点故【拓展提升】三角形的面积公式(1)已知一边和这边上的高:(2)已知两边及其夹角：abc111Sahbhch.222111SabsinCacsinBbcsinA.222(3)已知三边：(4)已知两角及两角的共同边：(5)已知三边和外接圆半径R，则abcSppapbpc,p.2其中222bsinCsinAcsinAsinBasinBsinC S.2sinCA2sinAB2sinBCabcS.4R【变式备选】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(1)求的值.(2)若cosB=b=2,求△ABC的面积S.cosA2cosC2ca.cosBbsinCsinA14，【解析】(1)方法一:在△ABC中，由及正弦定理可得即cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB，则cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB，sin(A+B)=2sin(C+B)，而A+B+C=π，则sinC=2sinA，即cosA2cosC2cacosBbcosA2cosC2sinCsinAcosBsinB，sinC2.sinA方法二：在△ABC中，由可得，bcosA-2bcosC=2ccosB-acosB，cosA2cosC2cacosBb222222222222bcaabc2caacbacbc2a.a2csinCc2.sinAa由余弦定理可得，整理可得由正弦定理可得222222212c2acosB,b244ca2accosB4aaa4a,1115a1c2SacsinB121cosB22415S.4由及可得则，，，即考向2测量距离问题【典例2】(1)(2013·聊城模拟)如图,设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离是50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()252A502mB503mC252mDm2(2)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°,则A，C两点之间的距离为____千米.(3)某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米.此时汽车离汽车站的距离是_____.【思路点拨】(1)利用三角形的内角和定理得∠ABC，再利用正弦定理可解.(2)利用已知角求得∠ACB，再利用正弦定理求解.(3)先画出图形，利用已知条件及余弦定理求角C的余弦值，再利用正弦定理求解即可.【规范解答】(1)选A.由∠ACB=45°，∠CAB=105°,得∠ABC=30°,由正弦定理得ABACsinACBsinABC＝，250ACsinACB2AB502m.1sinABC2＝＝(2)由∠CAB=75°,∠CBA=60°,得∠ACB=180°-75°-60°=45°.答案:ABAC,sinACBsinCBA32ABsinCBA2AC6.sinACB22由正弦定理得即千米6(3)由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处.在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得222222ACBCAB23cosC,2ACBC31432123sinC1cosC,sinC,3131sinMACsin120Csin120cosCcos120sinC353.62则所以在△MAC中，由正弦定理得从而有MB=MC-BC=15(千米),所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站.答案:15千米ACsinMAC31353MC35,sinAMC6232【互动探究】若将本例题(1)中A，B两点放到河岸的同侧，但不能到达，在对岸的岸边选取相距km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两点A，B之间的距离又如何求解?3【解析】如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.3.由正弦定理可得BC＝在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，∴AB＝(km).即两点A，B之间的距离为km.3sin7562.sin602＋＝2226262AB3()23cos75522＋＋＝＋－＝，55【拓展提升】解三角形