【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第二章 第八节函数与方程

第八节函数与方程1.函数零点(1)定义:对于函数y=f(x)(x∈D),把使_______的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)函数零点与方程根的关系:方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与____有交点⇔函数y=f(x)有_____.(3)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是_________的一条曲线,并且有_____________,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在x0∈(a,b),使得_______.f(x)=0x轴零点连续不断f(a)·f(b)0f(x0)=02.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点_____________(x1,0)无交点零点x1,x2x1无(x1,0),(x2,0)3.二分法(1)二分法的定义.对于在区间[a,b]上连续不断且_____________的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_________,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)用二分法求函数零点近似值的步骤.第一步:确定区间[a,b],验证_____________,给定精确度ε.第二步:求区间(a,b)的中点c.f(a)·f(b)0一分为二f(a)·f(b)0第三步:计算f(c),①若f(c)=0,则c就是函数的零点;②若f(a)·f(c)0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));③若f(c)·f(b)0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).第四步:判断是否达到精确度ε:即若|a-b|ε,则得到零点近似值a(或b),否则重复第二、三、四步.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)0.()(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac0时没有零点.()(4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()【解析】(1)错误.函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标.(2)错误.函数f(x)=x2-x,在(-1,2)上有两个零点,但f(-1)·f(2)0.(3)正确.当b2-4ac0时,二次函数图象与x轴无交点,从而二次函数没有零点.(4)错误.当函数零点左右两侧函数值同号时,无法使用二分法求零点的近似值.答案:(1)×(2)×(3)√(4)×1.如图所示的函数图象与x轴均有交点,但不能用二分法求交点横坐标的是()【解析】选A.二分法适用于函数图象在[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数,观察图象知选A.2.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的近似零点,验证f(2)·f(4)0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,4)的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)0,则此时零点x0所在的区间为()(A)(2,4)(B)(3,4)(C)(2,3)(D)(2.5,3)【解析】选C.由零点存在性定理知x0∈(2,3).2423.在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()(A)(-，0)(B)(0，)(C)(，)(D)(，)【解析】选C.显然f(x)=ex+4x-3的图象连续不断，又f()=-1＞0，f()=-2＜0.∴由零点存在性定理知，f(x)在(，)内存在零点.14141412123412e144e1412144.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2，那么函数g(x)=bx2-ax(b≠0)的零点是()(A)0，2(B)0，(C)0，-(D)2，-【解析】选C.由题意知2a+b=0，即b=-2a，令g(x)=bx2-ax=0得x=0或x=，故选C.121212a1b2考向1函数零点的求解与判断【典例1】(1)(2012·天津高考)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)(2013·湛江模拟)设函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是.12【思路点拨】(1)根据零点存在性定理证明有零点,根据函数的单调性判断零点的个数.(2)画出两个函数的图象寻找零点所在区间.【规范解答】(1)选B.因为f'(x)=2xln2+3x20,x∈(0,1),所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上单调递增,且f(0)=1+0-2=-10,f(1)=2+1-2=10,所以有1个零点.(2)设f(x)=x3-()x-2,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数y=x3与y=()x-2的图象如图所示.∵f(1)=1-()-1=-10,f(2)=8-()0=70,∴f(1)f(2)0,∴x0∈(1,2).答案:(1,2)12121212【互动探究】把本例题(2)改为“方程log3x+x=3的解为x0,若x0∈(n,n+1),n∈N,试判断其解所在的区间”.【解析】构造函数,转化为求函数的零点所在的区间.令f(x)=log3x+x-3,则f(2)=log32+2-3=0,f(3)=log33+3-3=10,又因为函数f(x)在(0,+∞)上是连续且单调递增的,所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2,3).32log3【拓展提升】确定函数f(x)在给定区间上是否有零点的方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【变式备选】(1)函数f(x)=-cosx在[0,+∞)内()(A)没有零点(B)有且仅有一个零点(C)有且仅有两个零点(D)有无穷多个零点【解析】选B.令f(x)=-cosx=0,则=cosx,设函数y=和y=cosx,它们在[0,+∞)的图象如图所示,显然两函数的图象的交点有且只有一个,所以函数f(x)=-cosx在[0,+∞)内有且仅有一个零点.xxxxx(2)函数f(x)=ln(x-2)-的零点所在的大致区间是()(A)(1,2)(B)(2,3)(C)(3,4)(D)(4,5)【解析】选C.由题意知函数f(x)的定义域为{x|x2},∴排除A.∵f(3)=-0,f(4)=ln2-0,∴f(3)·f(4)0,又函数f(x)=ln(x-2)-在(2,+∞)上连续,∴函数f(x)的零点在(3,4)内,故选C.2x23122x考向2二分法及其应用【典例2】(1)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为________.(2)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值如下(精确度0.1):那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(保留3位有效数字)为_____.f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=-0.054【思路点拨】按照用二分法求零点近似值的步骤求解.【规范解答】(1)令f(x)=x3-2x-1,则f(1)=13-2×1-1=-20,f(2)=23-2×2-1=30,f(1.5)=1.53-2×1.5-1=-0.6250,∴f(1.5)f(2)0,故下一步可断定该根所在区间为(1.5,2).答案:(1.5,2)(2)根据题意知函数的零点在区间(1.40625,1.4375)内,又|1.4375-1.40625|=0.031250.1,故方程的一个近似根可以是1.40625,保留3位有效数字为1.41.答案:1.41(答案不唯一)【拓展提升】利用二分法求方程的近似解(函数近似零点)需注意的问题(1)第一步中:①区间长度尽量小;②f(a),f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与相应方程的根是等价的.【提醒】对于方程f(x)=g(x)的根,可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根.【变式训练】用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:据此数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为________.f(1.6000)=0.200f(1.5875)=0.133f(1.5750)=0.067f(1.5625)=0.003f(1.5562)=-0.029f(1.5500)=-0.060【解析】由题意知,函数零点在区间(1.5562,1.5625)内,又零点近似值保留三位有效数字,故零点近似值为1.56.答案:1.56考向3函数零点的应用【典例3】已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x0).(1)若g(x)=m有实数根,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【思路点拨】解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解.(2)转化为两个函数f(x)与g(x)有两个交点,从而用数形结合法求解.2ex【规范解答】(1)方法一:∵g(x)=x+≥=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞),因此,只需m≥2e,则g(x)=m就有实数根.方法二:作出g(x)=x+(x0)的大致图象如图:可知若使g(x)=m有实数根,则只需m≥2e.2ex22e2ex(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x0)的大致图象.∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,∴f(x)的图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).2ex【拓展提升】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.【变式训练】(2013·武汉模拟)设函数f(x)=在区间(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是()(A)(-1,log32)(B)(0,log32)(C)(log32,1)(D)(1,log34)【解析】选C.由题意知方程=a在区间(1,2)上有解,由1x2得23,∴log321,∴a∈(log32,1).3x2logax3x2logxx2x3x2logx【易错误区】忽视定义域导致求函数零点个数失误【典例】(2012·湖北高考)函数f(x)=xcosx2在区间［0，4］上的零点个数为()(A)4(B)5(C)6(D)7【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面(1)忽视x=0这一零点致误.(2)误把y=cosx2在［0，4］上的零点与y=cosx在［0，4］上的零点等同，导致错误.【规范解答】选C.当x=0时，f(x)=0.又因为x∈［0，4］，所以0≤x2≤16.因为所以函数y=cosx2在x2取时为0，此时f(x)=0.所以f(x)=xcosx2在区间［0，4］上的零点个数为6.115162＜＜，357922222，，，，【思考点评】解答本题应注意的两个问题(1)