【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第五章 第五节数列的综合应用

第五节数列的综合应用数列的实际应用(1)解答数列应用题的步骤.①审题——仔细阅读材料，认真理解题意；②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征；③求解——求出该问题的数学解；④还原——将所求结果还原到原实际问题中.具体解题步骤用框图表示如下：(2)数列应用题常见模型.①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑是an与an+1的递推关系，还是前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)在等差数列{an}中，首项a1、公差d、前n项和Sn、通项an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个.()(2)在等比数列{an}中，首项a1、公比q、前n项和Sn、通项an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个.()(3)数列与不等式问题中经常使用放缩的方法，则对n∈N*有()(4)数列与函数问题中有时会使用导数的方法，证明不等式2nn时，可以构造函数f(n)=2n-n(n∈N*)，然后对这个函数求导，研究函数的性质得出所证不等式.()2111.n(n+1)nn(n1)-【解析】(1)正确.根据等差数列各个元素之间的关系知正确.(2)正确.根据等比数列各个元素之间的关系知正确.(3)错误.对n≥2才有意义.(4)错误.函数在自变量离散的地方不存在导数，必须先把函数的定义域拓展到连续的实数区间上才能求导.答案:(1)√(2)√(3)×(4)×211nn(n-1)1.设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn=()(A)(B)(C)(D)n2+n【解析】选A.设数列{an}的公差为d，则根据题意得(2+2d)2=2·(2+5d)，解得或d=0(舍去)，所以数列{an}的前n项和2n7n+442n5n+332n3n+241d=22nn(n-1)1n7nS=2n+=+.22442.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k=()(A)2(B)4(C)6(D)8【解析】选B.由等差数列{an}且a1=9d，得ak=a1+(k-1)d=(k+8)d，a2k=a1+(2k-1)d=(2k+8)d.又∵ak是a1与a2k的等比中项，则有ak2=a1a2k,即[(k+8)d]2=9d×[(2k+8)d]得k2-2k-8=0，解得k1=4,k2=-2(舍去).3.已知x0，y0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是()(A)0(B)1(C)2(D)4【解析】选D.∵a+b=x+y,cd=xy,∴2(a+b)cd2222xya+bx+y==4.cdxyx()()y()4.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为_______.【解析】设公比为q,则an=a1qn-1，又4S2=S1+3S3，即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2)，解得答案:1q=.313考向1等差数列与等比数列的综合问题【典例1】(1)已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1,S2,S4成等比数列,则=()(A)4(B)6(C)8(D)10(2)(2012·湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8.①求等差数列{an}的通项公式；②若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和.231a+aa【思路点拨】(1)由等比中项的性质列出S22=S1S4,再代入等差数列的通项公式和前n项和公式，用a1和公差d表示出来，求出a1和d的关系，进而求出式子的比值.(2)①根据已知条件，列出方程求出首项和公差，根据等差数列通项公式可得结果.②根据a2，a3，a1成等比数列确定等差数列的公差，按照项的符号分段求解数列{|an|}的前n项和.【规范解答】(1)选C.设等差数列{an}的公差为d，且d≠0，∵S1,S2,S4成等比数列，∴S22=S1S4,∴d2=2a1d,解得d=2a1或d=0(舍去),∴故选C.21412121114(a+a)a+a=a,2(2a+d)=2a(2a+()3d),∴∴23111111a+aa+d+a+2d8a===8,aaa(2)①设等差数列的公差为d，根据a1+a2+a3=-3可得a2=-1，进而得a1a3=-8，即(a2-d)(a2+d)=-8，所以1-d2=-8，解得d=±3.当d=3时，a1+3=-1，得a1=-4，此时an=-4+(n-1)×3=3n-7；当d=-3时，a1-3=-1，得a1=2，此时an=2+(n-1)×(-3)=-3n+5.∴{an}的通项公式为an=3n-7或an=-3n+5.②d=3时，a2=-1，a3=2,a1=-4,此时a2,a3,a1成等比数列；当d=-3时，a2=-1,a3=-4,a1=2，此时a2,a3,a1不是等比数列，故an=3n-7，这个数列的第一、二两项为负值，从第三项开始为正值.方法一：当n≤2时，|an|=7-3n，这是一个首项为4的公差为-3的等差数列，故当n2时，|an|=an=3n-7，此时这个数列从第三项起是一个公差为3的等差数列，故Sn=|a1|+|a2|+a3+a4+…+an=(4+1)+[2+5+…+(3n-7)]2nnn13n11nS=4n+3=+222（-）（-）-；2n22+(3n7)3n11n=5+()[]=+10.222---所以这个式子中n=2时两段函数值相等，故可以写为2n23n11n+,n2,22S=3n11n+10,n2,222n4,n=1,S=3n11n+10,n2,22方法二：设数列{an}的前n项和为Tn，则由于n≤2时，|an|=-an，所以此时2nn(4+3n7)3n11nT==.2222nn3n11nS=T=+22；当n＞2时，Sn=(-a1-a2)+(a3+a4+…+an)=-T2+(Tn-T2)=Tn-2T2=所以这个式子中n=2时两段函数值相等，故可以写为23n11n+10.222n23n11n+,n2,22S=3n11n+10,n2,222n4,n=1,S=3n11n+10,n2.22【互动探究】本例题(1)中将条件“S1,S2,S4成等比数列”改为“a1,a2,a4成等比数列”,结论“”改为“”，则结果如何？231a+aa231S+SS【解析】设等差数列{an}的公差为d，且d≠0,∵a1,a2,a4成等比数列,∴a22=a1·a4,∴(a1+d)2=a1·(a1+3d)⇒a1=d,∴an=nd.故1nnn(a+a)n(d+nd)S==,222312312(d+2d)3(d+3d)S+S=+=9d,S=d,22S+S=9.S∴【拓展提升】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序.(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.【提醒】在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合.【变式备选】已知{an}是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为{an}的前n项和.(1)求通项an及Sn.(2)设{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.【解析】(1)因为{an}是首项为a1=19，公差d=-2的等差数列，所以an=19-2(n-1)=-2n+21,Sn=-n2+20n.(2)由题意知bn-an=3n-1,所以bn=an+3n-1,即bn=-2n+21+3n-1.Tn=Sn+(1+3+…+3n-1)n231=n+20n+.2考向2数列的实际应用【典例2】(2012·湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式.(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).【思路点拨】(1)只要根据增长率求出当年年底的资金总额，再减去上缴的资金，就是下年度年初的资金，即可求出a1,a2，以及建立an+1与an间的递推关系式.(2)使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数列{an}的通项公式an，令am=4000即可求出d.【规范解答】(1)由题意得a1=2000(1+50%)-d=3000-d，a2=a1(1+50%)-d=∴135ad=4500d22，n+1nn3a=a1+50%d=a)d2(.(2)方法一：由(1)得，当n≥2时，整理得nn-1n-22n-2n-12n-213a=ad233=add2233=add22=3333=ad[1++()+()()+().222()]2……n-1n-1n33a=()(3000d)2d122[()]n-13=(30003d).)2(+2d由题意，am=4000,∴解得故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.m-1(330003d+2d=)4000,2mmm+1mmm32]10001000(32)2d[()(==3212).3mm+1mm1000(32)32方法二：由于设化为与比较可得λ=-2d，故这说明数列{an-2d}是以a1-2d=3000-3d为首项,为公比的等比数列，所以即(下同方法一).n+1n3a=a-d2，n+1n3a+λ=(a+λ)2，n+1n31a=a+λ,22n+1n3a=a-d2n+1n3a-2d=(a-2d)，232n-1n3a-2d=3000-()3d)2(,n-1n()3a=3000-3d+2d.2()【拓展提升】解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表：数列模型基本特征等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{an}满足an+1=1.2an-a(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确.(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点.【变式训练】某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为万元(n为正整数).()n150012(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需要扣除技术改造资金)，求An,