2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件：8.1椭圆(第1课时)

第八章圆锥曲线方程第讲（第一课时）考点搜索●椭圆的第一、第二定义，焦点在x轴、y轴上的标准方程●椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率、准线、焦半径等基本性质高考猜想1.求椭圆的标准方程，以及基本量的求解.2.以直线与椭圆为背景，探求参数的值或取值范围，判定椭圆的有关性质，考查知识的综合应用.1.平面内与两个定点F１、F2的.等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F1、F2叫做椭圆的.2.椭圆也可看成是平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l(点F在直线l外)的距离的点的轨迹，其中这个常数就是椭圆的；其取值范围是；这个定点F是椭圆的一个；这条定直线l是椭圆的一条.距离之和|F1F2|焦点之比为常数离心率(0,1)焦点准线3.设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c，则a、b、c三者的关系是；焦点在x轴上的椭圆的标准方程是；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是.a2=b2+c2222210xyabab222210yxabab4.对于椭圆:(1)x的取值范围是；y的取值范围是.(2)椭圆既关于成轴对称图形，又关于成中心对称图形.(3)椭圆的四个顶点坐标是；两个焦点坐标是；两条准线方程是.222210xyabab［-a，a］［-b，b］x、y轴原点(±a,0)(0,±b)(±c,0)2axc(4)椭圆的离心率e=;一个焦点到相应准线的距离(焦准距)是.(5)设P(x0，y0)为椭圆上一点，F１、F２分别为椭圆的左、右焦点，则｜PF1|=;|PF2|=.(6)对于点P(x0，y0)，若点P在椭圆内，则；若点P在椭圆外则.(7)椭圆的参数方程是.ca2bca+ex0a-ex011cos()sinxayb为参数220022xyab220022xyab1.过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解：因为P(-c,±)，再由∠F1PF2=60°，得,从而,解得，故选B.B22221(0)xyabab223312132ba22tan60bac2223acac33cea2.已知椭圆C:的右焦点为F,右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若,则|AF|=()A.B.2C.D.3解：过点B作BM⊥l于M,并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故|BM|=.又由椭圆的第二定义,得，所以|AF|=.故选A.232212xy3FAFBA3FAFB232222233BF3.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为.解：因为e=，2a=12，所以a=6，c=,从而b=3，则所求椭圆G的方程为.32221369xy3233221369xy题型一求椭圆的标准方程1.根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)两准线间的距离为，焦距为；(2)和椭圆共准线，且离心率为;(3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.185525xy221242012453253解：(1)设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则，解得所以所求椭圆的方程为或.222218255225accabc325.abc22194xy22194yx(2)设椭圆的方程为，则其准线方程为x=±12.所以，解得.所以所求椭圆的方程为.22221(0)xyabab21212acca633ab2213627xy(3)因为2a=|PF1|+|PF2|=，所以a=5.由，得.所以所求椭圆的方程为或.点评求椭圆的标准方程，一般是先定位，即确定焦点在哪条坐标轴上；然后定量，即求得a、b的值.求a、b的值可用方程组法(即通过解含a、b的方程组)、定义法(如第(3)小题用定义求2a).252253ba2103bxy2231510yx2231510已知椭圆E的两个焦点分别为F1(－1,0)、F2(1,0)，C(1，32)在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)若点P在椭圆E上，且满足PF1→·PF2→＝t，求实数t的取值范围．解：(1)方法1：依题意，设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由已知半焦距c＝1，所以a2－b2＝1.①因为点C(1，32)在椭圆E上，则1a2＋94b2＝1.②由①②解得，a2＝4，b2＝3.所以椭圆E的方程为x24＋y23＝1.方法2：依题意，设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，因为点C(1，32)在椭圆E上，所以2a＝|CF1|＋|CF2|＝4，即a＝2.由已知半焦距c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.所以椭圆E的方程为x24＋y23＝1.(2)设P(x0，y0)，则PF1→·PF2→＝t，得(－1－x0，－y0)·(1－x0，－y0)＝t，即x20＋y20＝t＋1.③因为点P在椭圆E上，所以x204＋y203＝1.④由③得y20＝t＋1－x20，代入④，并整理得x20＝4(t－2)．⑤由④知，0≤x20≤4，⑥综合⑤⑥，解得2≤t≤3，所以实数t的取值范围为[2,3]．题型二求椭圆离心率的值或取值范围2.设F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点.已知点P到椭圆的一条准线的距离是|PF1|和|PF2|的等差中项，求椭圆离心率e的取值范围.解：当椭圆的焦点在x轴上时，设P(x，y)是椭圆上任一点，是椭圆的右准线.()xyabab222210axc2又|PF1|+|PF2|=2a，故|PF1|和|PF2|的等差中项为a，所以，即.又-a≤x≤a，所以-a≤-a≤a，即-1≤-1≤1，所以≤e1.同理可得，当椭圆的焦点在y轴上时，e∈［，1).故椭圆的离心率e的取值范围是［，1).2axac2axac2acac121212点评：椭圆的离心率.已知一个条件求离心率的值或取值范围，其策略一般是先把这个条件转化为关于a，c的式子，再转化为的式子，最后通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.值得注意的是隐含条件e∈(0，1).ceaca过椭圆的右焦点F作斜率为1的直线l，交椭圆于A、B两点，M为线段AB的中点，射线OM交椭圆于点C.若OA+OB=OC(O为原点)，求椭圆的离心率.解：设点F(c，0)，则直线l的方程为y=x-c，代入椭圆的方程，得(a2+b2)x2-2a2cx+a2(c2-b2)=0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则22221(0)xyabab因为OC=OA+OB=(x1+x2，y1+y2)，所以点因为点C在椭圆上，212222121222222.acxxabbcyyxxcab，22222222().acbcCabab，所以可得即4c2=a2+b2.因为b2=a2-c2，所以4c2=a2+(a2-c2)，可得2a2=5c2，所以，所以.故椭圆的离心率为.2222222222441,acbcabab22241cab，2225ca105cea1051.椭圆的标准方程有两种形式，尤其在解题时要防止遗漏.确定椭圆的标准方程需要三个条件，要确定焦点在哪个坐标轴上(即定位)，还要确定a、b之值(即定量).若定位条件不足，应分类讨论.当椭圆的焦点在哪一个坐标轴上不明确而无法确定标准方程的形式时，可设方程为Ax2+By2=1(A0，B0)，这样可避免讨论和繁杂的计算.2.求椭圆的方程的方法除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性、后定型、再定参).3.椭圆的离心率能反映椭圆的扁平程度.因为ac0，所以0e1，且.当e越接近１时椭圆越“扁”；当e越接近０时椭圆越“圆”.bea21