高等量子力学-密度算符和密度矩阵

§14密度矩阵§14-1纯态和混合态§14-2密度算符和密度矩阵§14-3例§14-1纯态和混合态能用希尔伯特空间中的一个矢量描写的状态都是纯态.两个纯态1和2,通过叠加可以得到另一个状态:2211cc(14.1)这个状态也是纯态.有时由于统计物理的原因或量子力学本身的原因系统的状态无法用一个态矢量来描写.系统并不处在一个确定的态中,而是有可能处于,,21,等各态中,分别有概率,2,1pp.这种状态无法用一个态矢量表示,称为混合态.例如一个系统处于1态的概率为1p,处于2态的概率为1212ppp,系统的这个态目前还无法作简单的描写,我们只能用下面的写法表示这个态：2211::pp(14.2)纯态和混合态是完全不同的两种状态,即使在(14.1)式和(14.2)式中有222121,pcpc,它们仍是两种完全不同的状态.2211cc讨论一个物理量A在这两种态中的取值概率.设A的本征矢量为ia,相应的本征值是ia,在纯态中,物理量A取ia值的概率是222112cacaaiii(14.3)2211::pp2211cc而在混合态中,若系统处于1态,则A取ia的概率幅是1ia,若系统处于2态,则为2ia,系统既然以概率1p处于1态,以概率2p处于2态,那么,A取值ia的概率应为222121papaii(14.4)以上的说法若在X表象中说,纯态的函数为2211cxcxx而混合态的态函数可以写成2211::pxpx粒子处于0x点的概率在纯态中为220210120cxcxx而在混合态中为22021201pxpx相干叠加不相干叠加由此看出,在纯态中两个态x1和x2发生干涉现象,而混合态则不发生干涉,各自表现出自己的位置概率.在混合态中,系统有一定概率处于1态,当它处于此态时,它具有1态所有的全部性质,对于2态也是一样.而在纯态中,1与2两态叠加,已经形成一个新的态,这个新态原则上已不再原封不动地具有原来两个态的性质了.有时会看到一种解释,说在(14.1)式中所表现的纯态中,“21c是系统处于1态的概率,22c是处于2态的概率”.这种说法是不对的,如果把21c和22c换成1p和2p,这倒是对于混合态的正确解释.我们知道,纯态是一个全新的态,处于纯态的系统,不再有可能处于1或2态.2211cc如果在纯态(14.1)式中,1和2都是某一算符A的本征矢量,本征值分别为1a和2a,则在纯态中,物理量A取值为1a和2a的概率确是21c和22c,但是物理量取1a或2a的概率并不等于系统处于1态和2态的概率.关于这一点,讨论一个(与A不对易的)算符B的取值概率就清楚了,对于纯态来讲,系统就是处于态,对于一个纯态,不存在“系统处于某态的概率”这一概念.§14-2密度算符和密度矩阵我们希望找到一个单一的数学量去描写混合态,这个量就是本节要介绍的密度算符.先从纯态开始.一、密度算符的定义物理量A的平均值：AAtrAnAnAnnAnn密度算符：注意构造密度算符时必须使用归一化的态矢量.(14.5)(14.6)再来看物理量A在态中取值ia的概率iW：iiiiiiaaaaaW2(14.7)这个概率是密度算符在本征态ia中的平均值.由(14.5)和(14.7)两式可知,对于一个纯态,凡是能用态矢量给出的信息,都可以同样用密度算符给出,因此,密度算符是可以完全代替态矢量来描写纯态的另一种数学量.下面看混合态.取一个比(14.2)式更一般的混合态如下：,:,:2211pp1ip(14.8)物理量A在这个混合态中的平均值：iiiiApAniiiiiniiinpAnAnnpAtrAnpAnniiii][混合态的密度算符或统计算符：iiiipiip1(14.9)(14.10)同样,在混合态中物理量A取值ja的概率,即jjiiijjaapaW2(14.11)(14.9)和(14.11)二式与纯态情况(14.5)和(14.7)二式完全一样；而混合态的密度算符是参与混合态的那些纯态的密度算符的加权平均.至此,我们找到了密度算符这个量去描写混合态.是希尔伯特空间中的一个算符,这比用(14.8)式表示混合态要方便多了.同时可以看到,纯态是混合态的一个特殊情况.,:,:2211pp1ip在海森伯绘景中,态矢量H不含时,因此密度算符是一个不随时间而变的算符：iiHiHiHp(14.12)而在薛定谔绘景中,密度算符则是一个含时算符：iiSiSiStptt(14.13)ttpttpttittiiSiiSiiSiSiStHHtpttptHSiSiiSiiSiSi,(14.14)这是密度算符的运动方程,称为刘维方程.与海森伯绘景不同.二、刘维方程可以利用运动方程计算一个不显含时间的物理量SA在混合态中的平均值SA随时间的变化：SSSSSAtttriAttrtiAtiSSSSSSHAtAtHtrAtHtr,HAttrHAtHAttrSSSSSS,HAS,(14.15)密度算符在一个具体表象中的矩阵称为密度矩阵.在薛定谔绘景中的密度矩阵是含时的,而在海森伯绘景中,密度矩阵则是不含时的.密度矩阵中的“密度”一词是历史上形成的,并不贴切,不必深究.设K表象的基矢为mn,则K表象中的密度矩阵为mnminiimiiimnppnipimnm(14.16)如果参与构成混合态的都是物理量K的本征态,则这个混合态在K表象中的密度矩阵是对角矩阵,其对角元是相应本征态的权重ip.npmnmiiiimn常常用到位置表象中的密度矩阵.这时,密度矩阵是以'x和x连续编号的连续矩阵：xpxxxiiiixx'''iiiixpx'(14.17)对于这样的矩阵,其迹是dxtrxx(14.18)三、密度算符的一些性质我们研究一个一般的混合态：iiiipiip1(14.19)对于纯态,只要在(14.19)式中取iip即可.1tr1、(14.20)niiiiiniiipnnnpntr1iiiiiipp证明：取一组基n,利用完全性关系nnn1,有.1,12tr2、对混合态对纯态证明：取一组基n,利用完全性关系nnn1,有(14.21)nppntrjjjinijii2ijjjiiijjijiijpppp2jjinijiijppnn1222jjjjjijjjippp12iiptr(混合态)对于纯态,2,,于是122nnnntrnn(纯态)证毕.这一证明不论i是否两两正交,都是成立的..1,12tr对混合态对纯态3、密度算符是厄米的：iiiiiiiiiiiippp][1triiiip4、若混合态是由一系列相互正交的态所构成,即在(14.19)式中有ijji，对一切i与j成立,则密度算符的本征矢量就是参与构成此混合态的那些态i,而相应的本征值就是权重ip.即iiip(14.22)证明：jiiijjjjijjjippp对于i不是两两正交的情况,这一性质不成立.但是,在这种情况下,密度算符[(14.19)式]仍是厄米算符,它肯定有一系列本征矢.设的本征矢为,相应的本征值为p,即iiiipp则密度算符肯定可以写成p而由于是一个厄米算符的本征矢,它们是彼此正交的.iiiipp于是密度算符有两种构成方式：非正交的：正交的：两种构成方式从实验上看是不同的，但从量子力学看是相同的，它们给出完全相同的信息。一个密度算符为的混合态,可以用不同的参与态以不同的权重构成.但若要求参与态彼此正交,则只有一种构成方式,这时参与态就是的一组本征态.很自然地产生这样一个问题.能不能只用一组基矢m作为参与态,把系统的所有混合态(包括参与态不完全正交的)表现出来？让我们试一试,用完全性关系mmm1作用于(14.19)式左右两方:mmmmmmiiiimpmmmpmm''''''式中mmiiiimmmmmpmp''''iiiipmmmmmmiiiimpmmmpmm''''''mmiiiimmmmmpmp''''(14.24)(14.25)mmp'的定义就是上式,它所满足的两个必要条件是''mmmmpp1'mmptr(14.26)由以上三式可见,用一组正交基表现一个系统的全部混合态是可能的.一个系统的任何混合态都可以用任何一组正交基表示成如下形式：mpmmm''1,;1,2''mmiimiiiimiiimmmcmcpcpcp(14.27)(14.28)mpmmm''这个形式的密度算符可以认为是原来引进的那种形式(14.10)式的推广.这时m不一定是混合态的参与态,当m是参与态时,,''mmmmmpp(14.27)式恢复成为(14.10)式.当系统的混合态的参与态不是m,而是其它正交基或是不完全正交的一组态时,系统的混合态就要用(14.27)式表示.(14.27)式中的mmp'可以看成是(14.10)式中的概率ip的推广,其实,mmp'就是以m为基的密度矩阵,当参与态就是m中各态时,这个密度矩阵成为对角阵.iiiipmmiiiimmmmmpmp''''四、约化密度矩阵常常有这样的情况:有一个大系统,而希望求平均值的那个物理量只与系统的一部分有关.例如在两粒子1、2构成的系统中,希望求粒子1的某一物理量)1(F的平均值.这时上述所有内容当然仍旧适用,不过可以做一些简化.为简单计,就以上述双粒子系统为例,设粒子1和2各有一组基矢i和m,则在1、2两粒子空间的直积空间中,系统态矢的一般形式是imimmic(14.29)imimmic为使归一化,系数imc应满足imimc12(14.30)处于纯态时,系统的密度算符是iimmmiimmimicc''''''而密度矩阵元immi,''由(14.29)式得immimimiimmicc'',''(14.31)现在求粒子1的某物理量)1(F的平均值,根据(14.9)式,有)1()1(FtrFjjnnnjnjnjnjF'''''')1(njnnjjjjjF''')1()1()1(FtrFiimmmiimmimicc''''''jjnnnjnjnnjjF''''')1(令21trnnn(14.32))1()1(1Ftr''')1()1(jjjF21trnnn2tr的意思是只对粒子2取迹,取迹后的)1(仍是粒子1空间中的算符,称为