您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 公司方案 > 量子信息学引论第4讲
清华大学2012.10.10IntroductiontoQuantumInformationScience第四讲量子信息学引论1上讲内容-线性代数•2.1.1基与线性无关•2.1.2线性算子与矩阵•2.1.3泡利矩阵•2.1.4内积,外积•2.1.5本征向量与本征值•2.1.6伴随与厄米算子•2.1.7张量积•2.1.8算子函数•2.1.9对易子与反对易子•2.1.10极分解与奇值分解2外积的矩阵表示**1111**1**1mmnnnmnmwwvwvwvvvwwvwvExample,v,thenw?aewbvfc迹是一个重要算子函数4矩阵表示对角元的和称为迹这里,我们利用Gram-Schmidt过程取1|设|y是一单位向量且A是任意算符量子力学引论52.2.1状态空间2.5Schmidt分解2.2.2量子状态演化2.6Bell不等式2.2.3量子测量2.2.4区分量子态2.2.5投影测量2.2.6POVM测量2.2.7相位2.2.8复合系统2.2.9量子力学:总览2.3超密编码2.4密度算子62012年诺贝尔物理奖TheNobelPrizeinPhysics2012wasawardedjointlytoSergeHarocheandDavidJ.Winelandforground-breakingexperimentalmethodsthatenablemeasuringandmanipulationofindividualquantumsystems量子力学•直观掌握量子力学的四大假定。•不断回顾,细致掌握,先博后精。7量子力学的四个假设•假定1设置了量子力学适用的舞台,具体指出了如何描述一个孤立量子系统的状态。•假定2告诉我们封闭量子系统的演化由酉变化来描述。或由Schrödinger方程描述。•假定3告诉我们如何从量子系统中提取信息,如何描述量子测量。•假定4告诉我们如何把不同量子系统的状态空间结合起来组成复合系统。8状态空间(Statespace)•假定1:任意孤立的物理系统都有一个与其相联的具有内积的复矢量空间(即Hilbert空间),称之为状态空间。系统完全由状态矢量完备地表征,态矢量是系统的状态空间中的单位矢量.9•量子位(qubit)为最简单的量子系统,具有2维的状态空间。如果其标准正交基为:,则状态空间的任意态向量为10122是复数,和其中状态空间例子210ii线性组合的理解为:如QUBIT态:演化Evolution假定2:一个封闭(closed)量子系统的演化由一个酉变换来描述。即,t1时刻的状态与t2时刻的状态由一个酉算子U(它只依赖于时间t1和t2)联系起来:假定2要求系统必须是封闭的。11演化例子:单量子比特演化•对单量子比特,可以实现任意的酉算子•例如:X门,Hadamard门等111121H2100H2101H121313演化例子:单量子比特演化01,10XX00,111iZZeX和Z门比特翻转(BITFLIP)门位相翻转(PHASEFLIP)门假定2’:演化的连续时间形式假定2’:一个封闭量子系统的状态的时间演化由Schrödinger方程描述:其中H为系统的Hamiltonian,是一个厄米算子,所以有谱分解:14|E为能量本征态(定态),E是能量,最低的分别称为基态和基态能。Schrödinger方程和酉算子等价15假定2的Schrödinger方程表述和酉算子表述等价。量子测量假定3:量子测量由一组测量算子{Mm}来描述。这些算子作用于被测系统的状态空间上。m指系统可能发生的测量结果。如果测量前系统的态为,则测量后,结果m发生的概率为测量后系统状态为:此测量算子满足完备性方程16量子测量完备性由完备性方程导出所有测量的概率p(m)和为1,即证明量子比特计算基的测量对单个量子比特可以在计算基下定义两个测量算子:可以验证:M0和M1都是厄米算子,且因此满足完备性关系:101100MMMMMMI18量子比特计算基的测量假设被测量的状态为,则测量结果为0的概率是:测量后系统的状态是:10ba00aaaM19区别量子态•区别量子态为假定3的一个重要应用。•正交态可完美区分(何为正交态?)•非正交态不能完美区分。20Alice让Bob找出给他状态的指标ini1i正交态可完美区分假设正交,则可以定义测量算子:以及这些算子满足完备性关系,如果制备的是,根据假定3则测量后得到的几率为:所以正交态可以完美区分。ni1iiiiM0iii0-IMi†iiiii1iiipMMMi21非正交态不能完美区分•假设态和不正交,则可以分解成两个分量,和平行的及与其正交的。如果测量结果为,以此假定状态为,则有一定的概率猜错,因为也有和平行的分量。•更严格的证明见教科书的盒子2.3。请同学们课下学习。2121112122投影测量•投影测量是假定3描述的通用测量的一个重要特例(满足完备性,外加正交性)。•投影测量由投影算子Pm集构成一个可观测量M:此处,Pm是投影到算子M的本征值为m的本征空间的投影算子。23投影测量测量状态得到结果m的概率是:如果得到结果m,测量后系统的状态变成:投影测量是量子力学基本假定3描述的通用测量的特例。mPmp)()(mpPm24投影测量的特点•容易计算投影测量的平均值(概率的定义)MMPmPmmmpMmmmmmE有兴趣同学由此可证Heisenberg不确定性原理.2222MMMMM25常用术语在基上的测量,就是意味着做一投影测量,而投影算子为:这里组成了一个标准正交基。相应的观测量为:mmmPmm26mmmMmPmmm量子测量的要素1)给出测量统计特性的规则,即分别得到不同测量结果的概率。2)给出描述测量后,系统状态的规则。POVM测量•POVM:PositiveOperator-ValuedMeasure•只对测量统计感兴趣,对测量后的状态不关心.•假设测量算子Mm作用到处于的系统,得到结果m的概率是:定义:则:Em称为测量的POVM元素,集合{Em}称作一个POVM。mEmp)(28POVM测量POVM就是满足下述条件的算子集合{Em}:1)每个算子Em是半正定的。2)Em满足完备性关系:这样对于POVM{Em},得到结果m的概率为:mEmp)(29POVM应用(区分量子态)区分两个态:定义:用POVM{E1,E2,E3}测量,则可以在一些情况下确定是那种状态,而且绝对不会猜错。例如:测量结果是E1,则状态必定是210021和112121E210102122E2131EEE210230相位Phase•全局相位因子(Globalphasefactor):无物理测量效果.•相对相位(relativephase):有测量效果31全局相位因子设为一态矢量,是一实数。则两种状态只相差一全局相位因子,而这两个态的物理测量结果没有差别。和ie假设:Mm是一测量算子,则对两态进行测量得到结果m的概率分别是:mmimmimmMMeMMeMM和32相对相位121021121021第一个量子态中的幅度是,第二个量子态中的幅度是,两者大小相等,但符号不同。Quantumstatetomography完全决定量子态2/112/1133复合系统假定4:复合系统的状态空间是分物理系统态空间的张量积。若有n个子系统,第i个系统处于状态,则总系统的状态为34基为:纠缠态(entanglement)•当一个复合系统的状态不能写成其子系统状态的张量积时,称此态为纠缠态.•如:2110035求证:对于所有的单量子态和,都有证明Bell态为纠缠态21100已知:baab36证明Bell态为纠缠态37量子力学的特点•量子力学奇怪的地方:不能直接观察状态矢量.•量子信息学就是要利用状态空间的隐藏特性来完成超越经典的信息处理任务.38应用:超密编码•超密编码具体而非凡地把量子力学的所有基本思想结合起来,是用量子力学完成信息处理任务的一个理想例子。39超密编码的目标•超密编码包含双方:Alice与Bob.•目标:由Alice到Bob传递经典信息.•假设Alice需要传送两个经典位的信息给Bob,但她只有传送一个量子位的能力,她能否做到传送两个经典位?40超密编码初始设置•Alice和Bob各拥有量子纠缠对的一半.•Alice可用超密编码送给Bob两个经典位,而只使用一个量子位的通信和这个事先制备的纠缠态.41Pauli矩阵0110X1001I00iiYii1001Z42第一位经Alice变换后系统的状态(左)与Bell态(右)的比较001100:2001101:2100110:2100111:2IZXiY43Shedidit!•Alice将自已的量子位送给Bob后,Bob可能拥有的四个态正好是Bell基(Bell态或EPR对).•注意,Bell态形成了一个正交基,可由适当的量子测量来区分.•如果Alice把她的量子位送给Bob后,Bob同时拥有这两个量子位,通过在Bell基上测量,Bob能够确定Alice送来的是四种位串的哪一种.44Bell基上的测量证明Bell基是正交的.1001212110000011021210010145超密编码总结•Alice只与一个量子位作用,可送两个比特的信息给Bob.•当然,在此协议中包含了两个量子位,但Alice不需要与第二个量子位作用.•经典地,如果只送一个经典位,Alice不能完成此任务.•这个超密编码已得到部分实验证实.46密度算子•量子力学的形式化语言:态矢量(Statevector),密度算子(或密度矩阵:densitymatrix)。•此二方法在数学上等价,但密度算子对思考一些量子力学中常见的现象更方便。•用量子态系综的概念引入密度算子•密度算子的一般性质。•约化密度算子:描述复合系统的子系统的工具。47量子态系综iip,iiiip系统密度算子(密度矩阵):密度算子(密度矩阵)在描述状态不完全已知的系统时很有用。设系统处于态的概率为pi,则纯态的系综定义为:i量子力学的假定都可以用密度算子的语言重新描述。48密度算子的演化UUUUppiiiiUiiii假设封闭系统的演化由酉算子U来描述。如果系统有pi的概率处于初态,则经过酉演化U后,系统有pi的概率处在,那么密度算子的演化过程为:iiU49量子测量iimmimmiMMtrMMimp||iimmiiiimmiiimmipmpmipptrMMtrMMptrMM假设进行了用测量算子Mm描述的测量,假设系统初态为,则得到测量结果m的条件概率:i50总概率:测量得到m后系统的状态immiimmiMMMimmimiimimimiimMMMMmipmip||51经过一个得到m的测量,得到个别概率为p(i|m)状态的系综mi测量得到m后系统的状态miiimmiimimiimmmmmmmmMpMMMptrMMtrMMMMtrMM利用初等概论,||ipmipmippimpmpm得到纯态与混合态•纯态:一个量子系统其状态精确知道,就
本文标题:量子信息学引论第4讲
链接地址:https://www.777doc.com/doc-3955852 .html