量子信息学引论第5讲

清华大学2012.10.17量子信息学引论IntroductiontoQuantumInformationScience第五讲1内容回顾复习量子力学假定把物理概念与数学概念联系起来状态空间→Hilbert空间时间演化→酉变换测量→测量算子复合系统→张量积空间超密编码•Alice和Bob各拥有量子纠缠对的一半.•Alice可用超密编码送给Bob两个经典位,而只使用一个量子位的通信和这个事先制备的纠缠态.4第一位经Alice变换后系统的状态(左)与Bell态(右)的比较001100:2001101:2100110:2100111:2IZXiY5如何实验实现，参阅：Phys.Rev.Lett.76,4656(1996)密度算子Thedensityoperator•量子力学的形式化语言：态矢量（Statevector),密度算子（或密度矩阵:densitymatrix）。•此二方法在数学上等价，但密度算子对思考一些量子力学中常见的现象更方便。•用量子态系综的概念引入密度算子•发展密度算子的一般性质。6量子态系综Ensemblesofquantumstatesiip,iiiip系统密度算子(密度矩阵):密度算子(密度矩阵)在描述状态不完全已知的系统时很有用。设系统处于态的概率为pi，则纯态的系综定义为:i量子力学的假定都可以用密度算子的语言重新描述。7例子:测量结果丢失后系统状态mmmmmmmmmmmmpmMMtrMMtrMMMM测量结果m（Mm）丢失后，我们仅知道系统处在m的概率为p(m),这时的系统可以用下面密度算子描述：8量子力学引论II2.2.1状态空间2.2.2量子状态演化2.2.3量子测量2.2.4区分量子态2.2.5投影测量2.2.6POVM测量2.2.7相位2.2.8复合系统2.2.9量子力学:总览2.3超密编码2.4密度算子密度算子的一般性质Generalpropertiesofthedensityoperator一个算子是与某个系综相联系的密度算子，当且仅当:1）其迹为1。2）算子为正定的。10密度算子性质的应用•可以不依赖状态矢量的语言.•用密度算子可以对量子力学的假定重新陈述.11与任何孤立物理系统相联系的是一个具有内积的复矢量空间(即Hilbert空间),称为系统的状态空间.系统由其密度算子完备描述,此密度算子为正定的且迹为1,作用于系统的状态空间上.如果一个量子系统以概率处于,则系统的密度算子为:假定1:系统状态ipiiiip12假定2:状态演化UU'一个封闭量子系统的演化是由一个酉变换来描述的。即系统在时刻t1的状态与系统在时刻t2的状态是由只依赖于时刻t1和t2的酉算子U来描述的:13如果测试前系统的状态为,则测得结果m的概率为:量子测量由一组测量算子的集合来描述。这些是作用在被测系统的状态空间上的算子。索引m指的是实验中可能发生的测量结。假定3:量子测量mMmmMMtrmp)(且测量后系统的状态为:mmmmMMtrMM测量算子满足完备性方程:mmmIMM14•一个复合物理系统的状态空间是组元物理系统的状态空间的张量积.•进一步地,拥有编号从1到n的系统，且第i号系统被制备到状态,假定4:复合系统in21则全系统的联合状态(jointstate)是：15密度算子的两个重要应用•描述状态未知的量子系统.•描述一个复合量子系统的子系统.16密度算子的两个值得注意的问题•(1)密度矩阵的本征值和本征向量对量子态系统是否的特殊意义?•(2)什么样的系统给出一个特定的密度矩阵?17密度矩阵的本征值和本征向量对量子态系综是否有特殊意义?无!•例:18什么样的系综产生一个特定的密度矩阵?定义:(集合生成算子)设集合生成算子，与普通密度算子系综的关系由来描述。定理2.6:(在密度矩阵的系综中的酉自由)两个集合和生成相同的密度矩阵,当且仅当:其中,是具有复数元素的酉阵,具有索引i和j,并且我们对于矢量集合或小的那个附加另外的矢量0,使得这两个集合具有同样数目的元素.i~j~jjijiu,~~iju.~~iiiiiip~i~i~j~192012sin02cosiiee10对于任意迭加态用角度来表示：ie整体相因子可以略去纯态量子比特21单比特的几何表示,Bloch球面此图不能表示多量子位(multiqubit)0112sin02cosie和确定了三维单位球面上的一个点。这个球面通常称作Bloch球面。11sincos2211sinsincos22xyzI泡利矩阵01,10x010,001yzii22量子位的几何表示,Bloch球面011012,=02例子对应练习：如果是混合态那么表示Block矢量的点应位于球面还是在球内？约化密度算子Thereduceddensityoperator•密度算子的一个最重要的应用是作为描述复合系统的子系统的工具.•这个描述是由约化密度算子提供的.•约化密度算子在分析复合量子系统时不可缺少.23约化密度算子的定义:24假设由系统A和B组成了复合系统，它的密度算子是AB，则系统A的约化密度算子就定义为)(ABBAtrtrB是一算子映射，称为系统B上的偏迹(partialtrace):)()(21212121bbtraabbaatrB其中和为A状态空间的两个矢量,和为B状态空间的两个矢量。1a2a1b2b偏迹的说明上式右端的迹操作,是对系统B的通常的迹操作,所以:以上只在AB上的一个特殊子类上定义了偏迹的操作,通过要求偏迹还满足对于其输入为线性的条件,可完成整个定义.251221)(bbbbtr21212121bbtraabbaatrB复合系统外积的一个恒等式已知：1a和2a为系统A的状态空间中的矢量；1b和2b为系统B的状态空间中的矢量.求证:.21212211bbaababa证明:设ab为张量积空间BA中的任意矢量,则:.1122221122112211babbaabbaabaabbabaabbaba.11221122212121212121babbaababbaabbbaaabbbaaaabbbaa得证.21212211bbaababa26为什么要采用约化密度算子?•约化密度算子提供了对子系统测量时的正确的测量统计.•下面的例子可以帮助理解约化密度算子.27例:乘积态的约化密度算子•设一个量子系统处于乘积态:其中为系统A的密度算子,为系统B的密度算子.则:28ABBBAtrtrBell态及其子系统的状态是否为纯态?Bell态是纯态，因为我们可以知道系统精确地处在这一状态。2921100Bell态:Bell态的密度算子3021100211111100001100002110021100对第二个量子位进行迹运算,得到第一个量子位的约化密度算子tr((I/2)2)=1/21此态为一混合态312211002111110100101000021111110000110000'22222ItrtrtrtrtrBell态及其子系统的状态Bell态子系统为一混合态32tr((I/2)2)=1/21Bell态为纯态，因其状态精确已知。21100联合系统的状态完全已知，为一纯态，而其子系统却处于混合态，这是量子纠缠的一个重要特点。量子隐形传态10011201？？？Nature390,575(1997)量子传态与约化密度算子•约化密度算子的一个重要应用:分析量子传态.•量子传态是从Alice到Bob传送量子信息的步骤,其中Alice与Bob共用一个EPR对,且可通过经典信道传送经典信息。34量子传态能否超光速传送信息?•初看起来,似乎量子传态能用来作超光速通信,但这根据相对论是不可能的.•在1.3.7节中推测,阻止超光速通信的是需要Alice把测量结果传送给Bob.•约化密度算子允许我们将此推测严格化.35在Alice测量前三个量子位的状态36].0111101001011000[212Alice在计算基上测量后系统的状态370111101001011000¼的概率得到¼的概率得到¼的概率得到¼的概率得到Alice测量时所用的测量算子BBBBmIIIIM1111,1010,0101,000038Alice测量后,系统的密度算子:390101111110101010010101011010000041********将Alice的系统求迹,得到Bob系统的约化密度算子:4022110041120020101101001011010412222********IBBob得到信息了吗?•在Alice测量后,而Bob尚不知其测量结果时,Bob的系统处于状态I/2。•此状态I/2不依赖于被传输的状态,因而阻止了Alice以超光速传递信息。41Schmidt分解与纯化TheSchmidtdecompositionandpurification•复合量子系统是量子信息学的核心.•研究复合量子系统的重要工具:密度算子,偏迹,Schmidt分解,纯化,……42Schmidt分解43•Schmidt基:基和分别称为A和B的Schmidt基(Schmidtbases).•Schmidt数:非零值的个数称为Schmidt数(Schmidtnumber).•Schmidt数是一个复合系统的重要性质,它在某种意义上对系统A和B之间的纠缠“量”进行了量化。只有当Schmidt数为1时，复合系统是乘积态。Schmidt基与Schmidt数AiBii44例子:•练习:2.79考虑由双量子位组成的一个复合系统.求出以下状态的Schmidt分解:45如何进行Schmidt分解?•从定理2.7的证明可知，对距阵进行奇异值分解即可。•猜46Schmidt分解Schmidt数为2，此复合系统处于纠缠态。Schmidt分解Schmidt数为1，此复合系统处于乘积态。Schmidt数的性质•Schmidt数对于系统A或B的单独酉变换操作守恒.49BiAiiiBiAiiiU是的Schmidt分解是的Schmidt分解U定义:给定一个量子系统A的状态，可以引入另一个系统R，且定义一个纯态，对联合系统AR使得：亦即,当我们只看系统A时,纯态约化到。这是一个纯粹的数学步骤,称为纯化.纯化允许我们把纯态与混合态联系起来.称R为参考系统，它是一个虚构的系统，无直接的物理意义。纯化(purification)50AARARARtrRAARA纯化对任意态都可以做,以下解释对于如何构造一个系统R和纯化。为纯化,引入系统R,它具有与系统A相同的状态空间,具有正交归一基,且对联合系统定义一个纯态:纯化的方法51AARAiAAiAiip设具有一个正交归一分解ARiiRAiiipAR所以,是的纯化。纯化的方法(续)52ijRRAAjiRjitrjippARARtrijijAAjijippiAAiiipAARA因为:Schmidt分解